1
3
4
21
Yukarıdaki grafik, y =a + b\sin(cx + d) fonksiyonunun grafiğidir.
Şekilde verilenlere göre a, b, c ve d sayılarını bulunuz.
b.sia (use te): 2
bsialUsctd)e-
Trigonometrik Fonksiyon Grafiğinden Katsayıları Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
y = a + b\sin(cx + d) fonksiyonu için:
- Düşey Öteleme (Orta Eksen): a = \dfrac{y_{\text{maks}} + y_{\text{min}}}{2}
- Genlik (Amplitüd): |b| = \dfrac{y_{\text{maks}} - y_{\text{min}}}{2}
- Periyot Formülü: T = \dfrac{2\pi}{|c|}
- Grafik tepe noktasına çeyrek periyotta (x = \dfrac{T}{4}) ulaşıyorsa başlangıç fazı d = 0 olarak alınır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Düşey Öteleme (a) Değerinin Bulunması
Grafikte fonksiyonun aldığı en büyük (maksimum) ve en küçük (minimum) değerler:
- y_{\text{maks}} = 3
- y_{\text{min}} = -1
Fonksiyonun orta ekseni (a), maksimum ve minimum değerlerin aritmetik ortalamasıdır:
a = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1
Adım 2 — Genlik (b) Değerinin Bulunması
Genlik, fonksiyonun orta eksenden tepe veya çukur noktasına olan uzaklığıdır. Grafik x = 0 noktasından sonra önce artarak tepeye ulaştığı için b değeri pozitiftir:
b = \frac{3 - (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2
Adım 3 — Faz Kayması (d) Değerinin Belirlenmesi
Grafiğin y eksenini kestiği nokta (0, 1) noktasıdır. Fonksiyon denkleminde x = 0 ve y = 1 yazalım:
y = 1 + 2\sin(c \cdot 0 + d) = 1
1 + 2\sin(d) = 1 \implies 2\sin(d) = 0 \implies \sin(d) = 0
Standart sinüs eğrisi başlangıç noktasından (0) itibaren doğrudan yükselişe geçtiğinden faz kayması yoktur:
d = 0
Adım 4 — Periyot (T) ve c Değerinin Hesaplanması
Sinüs dalgası denge noktasından (x = 0) maksimum noktaya (x = \dfrac{\pi}{4}) çeyrek periyotta ulaşır:
\frac{T}{4} = \frac{\pi}{4} \implies T = \pi
(Ayrıca tepe noktası ile çukur noktası arasındaki yatay mesafe yarım periyottur: \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{T}{2} \implies T = \pi)
Sinüs fonksiyonunun periyot formülünden c katsayısını bulalım (c > 0 için):
T = \frac{2\pi}{c} \implies \pi = \frac{2\pi}{c} \implies c = 2
Böylece fonksiyonun kuralı y = 1 + 2\sin(2x) olarak elde edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- a = 1
- b = 2
- c = 2
- d = 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Genlik (b): Dalganın denge seviyesinden tepeye olan yüksekliğidir.
- Periyot (T): Fonksiyonun kendini tekrar ettiği en küçük aralıktır; \sin(kx) için T = \dfrac{2\pi}{|k|} formülüyle hesaplanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Periyodu tepe noktasının apsisi olan \dfrac{\pi}{4} kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: Tepe noktası dalganın başlangıcı değil, çeyrek periyotluk (\dfrac{T}{4}) noktasıdır.
Bu tarz bir soruyu kosinüs fonksiyonu grafiği üzerinden de pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai cevap anahtarında D’yi 2 demişler de
@sorumatik_ai pi demişlet
Cevap anahtarında d = 2 verilmesi kesinlikle bir baskı / dizgi hatasıdır (yazar büyük ihtimalle c ile d harflerini karıştırmıştır).
Bunun neden matematiksel olarak imkânsız olduğunu ve hatanın nereden kaynaklandığını adım adım inceleyelim:
1. Matematiksel İspat (Sağlama)
Grafiğe baktığımızda eğrinin y eksenini kestiği nokta açıkça (0, 1) noktasıdır. Yani:
x = 0 \text{ iken } y = 1 \text{ olmalıdır.}
Bulduğumuz değerleri (a = 1, b = 2) ve cevap anahtarının iddia ettiği d = 2 değerini fonksiyonda yerine yazalım:
y = a + b\sin(cx + d)
y = 1 + 2\sin(c \cdot 0 + 2)
y = 1 + 2\sin(2)
- Burada 2, trigonometrik olarak 2 radyan demektir (2 \text{ radyan} \approx 114{,}6^\circ).
- \sin(114{,}6^\circ) \approx 0{,}91 değerindedir.
- Bu durumda:
y \approx 1 + 2 \cdot (0{,}91) = 2{,}82 \neq 1
Görüldüğü üzere d = 2 alındığında grafik (0, 1) noktasından değil, yaklaşık (0; 2{,}82) noktasından geçmek zorunda kalır. Dolayısıyla d = 2 olamaz.
Grafiğin (0, 1) noktasından geçmesi için:
1 + 2\sin(d) = 1 \implies \sin(d) = 0 \implies \mathbf{d = 0}
olmak zorundadır.
2. Cevap Anahtarındaki Hatanın Sebebi Nedir?
Bu durum soru bankalarında ve MEB kaynaklarında sıkça rastlanan tipik iki hatadan biridir:
- c ile d’nin Yer Değiştirmesi:
Periyottan gelen ve x’in katsayısı olan değer 2’dir. Yazar cevap anahtarını kodlarken x’in katsayısını yanlışlıkla c yerine d olarak eşleştirmiş (d = 2, c = 0) olabilir. - Kalıp Uyuşmazlığı:
Soruyu yazan öğretmen soruyu y = a + b\sin(dx + c) kalıbına göre çözüp, dizgiciye y = a + b\sin(cx + d) şeklinde yazdırmış olabilir. Bu durumda x’in başındaki katsayı (2) cevap anahtarında d olarak görünür.
Özet Doğru Değerler:
- a = 1 (Orta eksen / Düşey öteleme)
- b = 2 (Genlik / Amplitüd)
- c = 2 (x’in katsayısı, T = \frac{2\pi}{c} = \pi olduğu için)
- d = 0 (Faz kayması yoktur)
Gönül rahatlığıyla d = 0 ve c = 2 çözümünü kabul edebilirsin; senin çözümün matematiksel olarak kusursuzdur. Benzer bir trigonometri grafiği sorusu üzerinde daha pratik yapmak ister misin?
@sorumatik_ai sadece de değeri farklı
Cevap anahtarında d = 2\pi verilmiş olması durumu şimdi tam olarak netleştirdi!
Aslında senin bulduğun d = 0 ile cevap anahtarındaki d = 2\pi tamamen aynı matematiksel fonksiyondur.
Bunun nedenini ve mantığını şöyle açıklayalım:
1. Esas Ölçü ve Sinüsün Periyodu (2\pi)
Trigonometride sinüs fonksiyonu her 2\pi (360^\circ) radyalık turda kendini birebir tekrar eder:
\sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta)
Fonksiyonda yerine yazdığımızda:
y = 1 + 2\sin(2x + 2\pi) = 1 + 2\sin(2x)
- d = 0 seçildiğinde: y = 1 + 2\sin(2x)
- d = 2\pi seçildiğinde: y = 1 + 2\sin(2x + 2\pi) = 1 + 2\sin(2x)
Gördüğün gibi her iki durumda da grafiğin denklemi ve çizilen eğri birebir aynıdır.
2. Cevap Anahtarı Neden 0 Değil de 2\pi Aldı?
Genellikle bu tür sorularda faz açısı için tanımlanan aralık belirleyicidir:
- Eğer sorunun başında veya kazanım testinde aralık d \in (0, 2\pi] şeklinde tanımlanmışsa, 0 sınırda kaldığı için çözüm 2\pi olarak alınır.
- Ya da denklemi kurarken x = \pi (bir periyot sonu) noktasını referans aldılarsa faz açısını bir tam periyot ötelenmiş (2\pi) kabul etmişlerdir.
Özetle:
- a = 1
- b = 2
- c = 2
- d = 0 veya d = 2\pi (Her ikisi de birbirinin esas ölçüsüdür ve kesinlikle doğrudur.)
Yaptığın mantık ve işlem adımları baştan sona doğru! Trigonometrik denklemler ve grafiklerle ilgili kafana takılan başka bir detay var mı?