Yukarıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi mathbb R to mathbb R ye artan fonksiyondur?

Question Answer
1

• f(x) = 9 - 2x
• g(x) = 7x - 4
• h(x) = 5
• p(x) = x^3 + 5
• r(x) = -2x^2
Yukarıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi mathbb{R} to mathbb{R} ye artan fonksiyondur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

• f(x) = 9 - 2x • g(x) = 7x - 4 • h(x) = 5 • p(x) = x³ + 5 • r(x) = -2x² Yukarıdaki...
• f(x) = 9 - 2x • g(x) = 7x - 4 • h(x) = 5 • p(x) = x³ + 5 • r(x) = -2x² Yukarıdaki...1024×768 97.6 KB

2

Fonksiyonlarda Artanlık ve Azalanlık İncelemesi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir f(x) fonksiyonunun \mathbb{R} kümesinde artan olması için, her x_1 < x_2 gerçek sayısı için f(x_1) < f(x_2) koşulu sağlanmalıdır.

  • Doğrusal fonksiyonlarda (y = mx + n): Eğim m > 0 ise fonksiyon daima artandır.
  • Türevlenebilir fonksiyonlarda: Fonksiyonun birinci türevi \forall x \in \mathbb{R} için f'(x) \ge 0 olmalı ve türevi sıfır yapan noktalar işaret değiştirmemelidir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:

  • 1. Fonksiyon: f(x) = 9 - 2x

    • Eğim m = -2 < 0 olduğundan bu doğru azalandır.
    • Sonuç: Artan değildir (Azalan fonksiyondur).

  • 2. Fonksiyon: g(x) = 7x - 4

    • Eğim m = 7 > 0 olduğundan bu doğru daima yükselir.
    • Sonuç: \mathbb{R} \to \mathbb{R} artandır. (1. artan fonksiyon)

  • 3. Fonksiyon: h(x) = 5

    • Giriş değeri ne olursa olsun çıktı daima 5 değerini alır.
    • Sonuç: Artan değildir (Sabit fonksiyondur).

  • 4. Fonksiyon: p(x) = x^3 + 5

    • Birinci türevini alırsak: p'(x) = 3x^2 elde edilir.
    • x \in \mathbb{R} için 3x^2 \ge 0’dır ve sadece x = 0 noktasında sıfır olur (işaret değiştirmez). Her x_1 < x_2 için x_1^3 + 5 < x_2^3 + 5 şartı sağlanır.
    • Sonuç: \mathbb{R} \to \mathbb{R} artandır. (2. artan fonksiyon)

  • 5. Fonksiyon: r(x) = -2x^2

    • Kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.
    • (-\infty, 0] aralığında artarken, [0, \infty) aralığında azalandır.
    • Sonuç: Tüm \mathbb{R} üzerinde artan değildir.

Verilen fonksiyonlardan yalnızca g(x) ve p(x) olmak üzere 2 tanesi \mathbb{R} \to \mathbb{R} artan fonksiyondur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Artan Fonksiyon: Bağımsız değişken (x) arttıkça bağımlı değişkenin (y) de kesintisiz olarak arttığı fonksiyonlardır.
  • Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesinde tek bir elemana eşleyen fonksiyondur; artan veya azalan sınıfına girmez.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Parabol gibi ikinci dereceden fonksiyonların bir bölgede artan olmasını tüm reel sayılarda artan kabul etmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Soruda \mathbb{R} \to \mathbb{R} dendiği için fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde daima artış göstermesi zorunludur.

Türev yardımıyla artanlık-azalanlık belirleme konusunda benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?