Yukarıdaki f(x) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdakilerden hangisi reel sayılarda sürekli bir fonksiyondur?

Question Answer
1

Yukarıdaki f(x) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdakilerden hangisi reel sayılarda sürekli bir fonksiyondur?
I) |f(x)|
II) -f(x)
III) f(|x|)
IV) f(-x)
f(x) = \log_{6}(x^2 - x - 6) & x \leq 4 \\ \sqrt{x-3} & 4 < x < 7 \\ -2x & x \geq 7 \\ x^2 - 8x
fonksiyonu kaç farklı x tam sayısı için süreksizdir?
Yukarıdaki f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiklerine göre
h(x) = f(x) & x < 1 \\ |g(x+a)+b| & x \geq 1
fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olabilmesi için a+b toplamı kaç olabilir?

Yukarıdaki f(x) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdakilerden hangisi reel sayılarda...
Yukarıdaki f(x) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdakilerden hangisi reel sayılarda...1024×768 145 KB

2

Aşağıda görselde yer alan 3 sorunun ayrıntılı ve pedagojik çözümleri sunulmuştur.

1. Fonksiyon Dönüşümleri ve Süreklilik Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir f(x) fonksiyonunun x = c noktasında sürekli olması için \lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) eşitliği sağlanmalıdır. Bir fonksiyonun sıçrama yaptığı noktalarda mutlak değer veya simetri dönüşümleri uygulanırken sağ-sol limitlerin mutlak değerlerinin eşitliği ve tanımlı olduğu aralıklar incelenir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Grafikten f(x)'in Süreksizlik Noktasının Belirlenmesi
Grafik incelendiğinde, f(x) fonksiyonu x = 2 haricindeki tüm reel sayılarda süreklidir. x = 2 noktasında ise bir sıçrama (jump discontinuity) bulunmaktadır:

  • \lim_{x \to 2^-} f(x) = 3
  • \lim_{x \to 2^+} f(x) = -3
  • f(2) = -3

Adım 2 — Öncüllerin İncelenmesi

  • I. |f(x)|:
    x = 2 noktasında limit ve fonksiyon değerine bakalım:

    \lim_{x \to 2^-} |f(x)| = |3| = 3
    \lim_{x \to 2^+} |f(x)| = |-3| = 3
    |f(2)| = |-3| = 3

    Sağ limit, sol limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit (3) olduğundan |f(x)| fonksiyonu x = 2 noktasında da süreklidir. Dolayısıyla |f(x)| tüm reel sayılarda süreklidir.

  • II. -f(x):
    Grafik sadece x eksenine göre yansıtılır. \lim_{x \to 2^-} -f(x) = -3 iken \lim_{x \to 2^+} -f(x) = 3 olur. Sıçrama ortadan kalkmaz, x = 2 noktasında süreksizdir.

  • III. f(|x|):
    x = 2 ve x = -2 noktalarında |x| = 2 olacağından fonksiyon bu noktalarda f(2)'nin sıçramasını yaşar. Dolayısıyla süreksizdir.

  • IV. f(-|x|):
    Tüm x \in \mathbb{R} için -|x| \le 0 olur. Fonksiyonun grafiğinde (-\infty, 0] aralığında hiçbir kopma veya sıçrama yoktur (tüm x \le 0 için f(x) süreklidir). Dolayısıyla f(-|x|) bileşke fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir.

:white_check_mark: CEVAP: I ve IV (Tek seçenekli sorularda genellikle Yalnız I hedeflenir).

2. Parçalı Fonksiyonlarda Tanım Kümesi ve Süreksizlik Noktaları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Logaritma fonksiyonu \log_b(u) için u > 0; çift dereceli kök \sqrt[2n]{u} için u \ge 0; rasyonel ifadeler \frac{P(x)}{Q(x)} için Q(x) \neq 0 olmalıdır. Fonksiyonun tanımsız olduğu veya kritik noktalarda limitin fonksiyon değerine eşit olmadığı yerlerde fonksiyon süreksizdir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — x \le 4 Aralığının İncelenmesi
Bu aralıkta f(x) = \log_6(x^2 - x - 6) tanımlıdır. Logaritmanın tanımlı olması için:

x^2 - x - 6 > 0 \implies (x-3)(x+2) > 0

Eşitsizliğin kökleri -2 ve 3’tür. İfade [-2, 3] kapalı aralığında tanımsız (dolayısıyla süreksiz) olur:

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \implies \text{6 adet tam sayı}

Adım 2 — 4 < x < 7 Aralığının İncelenmesi
f(x) = \sqrt{x-3} fonksiyonunun tanımlı olması için x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3 olmalıdır. (4, 7) aralığındaki tüm değerler 3’ten büyük olduğundan bu aralıkta tanımsız yapan bir tam sayı yoktur.

Adım 3 — x \ge 7 Aralığının İncelenmesi
f(x) = \dfrac{-2x}{x^2 - 8x} = \dfrac{-2}{x - 8} rasyonel ifadesinde paydayı sıfır yapan değer:

x^2 - 8x = 0 \implies x = 0 \quad \text{veya} \quad x = 8

x \ge 7 koşulu altında x = 8 bu aralıktadır ve paydayı sıfır yaptığı için fonksiyon burada tanımsızdır (1 adet tam sayı).

Adım 4 — Kritik Geçiş Noktalarının (x = 4 ve x = 7) Kontrolü

  • x = 4 için:

    \lim_{x \to 4^-} \log_6(4^2 - 4 - 6) = \log_6(6) = 1
    \lim_{x \to 4^+} \sqrt{4-3} = 1 \quad \text{ve} \quad f(4) = 1 \implies \text{Süreklidir.}

  • x = 7 için:

    \lim_{x \to 7^-} \sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2
    \lim_{x \to 7^+} \frac{-2(7)}{7^2 - 8(7)} = \frac{-14}{-7} = 2 \quad \text{ve} \quad f(7) = 2 \implies \text{Süreklidir.}

Toplam süreksiz tam sayı adedi: 6 + 1 = 7 adettir.

:white_check_mark: CEVAP: 7 farklı x tam sayısı için süreksizdir (Bunlar: \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 8\}).

3. Parçalı Fonksiyonun Sürekliliği ve Öteleme Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
h(x) fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olabilmesi için kritik sınır noktası olan x = 1’de sol limit, sağ limit ve o noktadaki değer eşit olmalıdır:

\lim_{x \to 1^-} h(x) = \lim_{x \to 1^+} h(x) = h(1)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — x = 1 Noktasındaki Sol Limitin Bulunması
x < 1 için h(x) = f(x) verilmiştir. Grafikten f(x) eğrisinin x \to 1^- yaklaşımındaki sınır değeri:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2

Adım 2 — Sağ Limit ve Fonksiyon Değerinin Eşitlenmesi
x \ge 1 için h(x) = |g(x+a) + b| olduğundan süreklilik gereği:

h(1) = |g(1+a) + b| = 2 \implies g(1+a) + b = 2 \quad \text{veya} \quad g(1+a) + b = -2

Adım 3 — g(x) Doğrusunun İncelenmesi
Grafikte verilen g(x) doğrusu (1, -1) ve (3, 0) noktalarından (veya eğimine bağlı olarak) geçtiğinde:

  • g(1) = -1 referans alındığında:
    a = 0 seçilirse:
    |g(1) + b| = 2 \implies |-1 + b| = 2
    • -1 + b = 2 \implies b = 3 \implies a + b = 0 + 3 = 3
    • -1 + b = -2 \implies b = -1 \implies a + b = 0 + (-1) = -1

:white_check_mark: CEVAP: a + b toplamı 3 veya -1 olabilir.

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Parçalı fonksiyonlarda mutlak değerli bir ifade limite eşitlenirken |u| = k \implies u = \pm k olmak üzere iki farklı durum ortaya çıkar. Sorulardaki “kaç olabilir?” kökü daima bu çift durumlu simetriyi test eder.