Soru:
Yukarıdaki çarpma işlemi yanlış yapılarak sonuç 75 bulunmuştur. Buna göre, işlemin doğru sonucu kaçtır? A) 145 B) 175 C) 215 D) 345 E) 375
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
Yukarıdaki çarpma işleminin doğru sonucu nedir?
Kullanılan Formül: İki basamaklı bir sayının ab biçiminde olduğunu ve 23 ile çarpıldığını düşünelim. Çarpma işlemi basamaklar üzerinden yapılır.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Bilinenler ve semboller
- Sayı: ab (a: onlar basamağı, b: birler basamağı, a ve b rakamdır)
- Çarpan: 23
- Yanlış yapılmış işlemin sonucu: 75
Çarpma işleminde:
ab \times 23 = (ab \times 3) + (ab \times 20)
Verilen görselde bu işlemde yanlış yapılmış ve sonuç 75 çıkmış.
Adım 2 — İşlemde yanlışlık nerede olabilir?
Görselde
ab
x 23
-----
xy
+ mn
-----
75
şeklinde gösterilmiş. Burada, xy ve mn kısmi çarpımlardır.
Adım 3 — Toplam soruyu matematiksel olarak yazalım
Yanlış yapılan işlemin sonucu:
xy + mn = 75
Burada xy ve mn sayılarının yanlış hesaplanmış kısmi çarpımlar olduğu anlaşılıyor.
Adım 4 — Doğru hesaplamaya bakalım:
Gerçek çarpma:
(ab) \times 3 = p \quad (birler basamağı ile) \\
(ab) \times 20 = q \quad (onlar basamağı ile)
ve
p + q = \text{doğru sonuç}
Adım 5 — İpuçlarını kullanarak deneme yapalım:
23 ile çarpıldığı için, ab \times 3 ve ab \times 20 işlemlerinde hata olabilir. Yanlış işlem sonucu 75 olduğuna göre, olası basamak değerlerini inceleyelim.
Şıklara bakalım:
- A) 145
- B) 175
- C) 215
- D) 345
- E) 375
Adım 6 — Doğru sonucu bulalım:
Şıklardan 75 sonucunu yanlış sonuç olarak biliyoruz. Şimdi, ab \times 23 işlemini deneyelim:
Şıklardan biri doğru sonuç olmalı. Diyelim ki doğru sonuç 175. O zaman ab = \frac{175}{23} \approx 7.6, yani iki basamaklı sayı olamaz.
Aynı şekilde:
- 145 / 23 ≈ 6.3 (İki basamaklı değil)
- 215 / 23 ≈ 9.3 (İki basamaklı değil)
- 345 / 23 = 15 (Geçerli, 15 sayısı iki basamaklıdır)
- 375 / 23 ≈ 16.3 (İki basamaklı değil)
ab = 15 olduğunda 15 \times 23 = 345
Adım 7 — Sonuç
Doğru işlem yapılırsa sonuç 345 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) 345
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Önemli Kavramlar:
Çarpma işlemi
- İki basamaklı sayının tek basamaklı sayılarla çarpılması
- Yer değeri önemi (birler ve onlar basamağı)
- Toplama işlemi ve basamakların doğru hesaplanması
Yaygın Hatalar:
Yanlış basamak toplama
- Kısmi sonuçların yanlış toplanması
- Basamak değerlerinin karıştırılması
Doğru basamak değerlerine dikkat ederek işleme devam etmek önemlidir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Yukarıdaki çarpma işlemi yanlış yapılarak sonuç 75 bulunmuştur. Buna göre, işlemin doğru sonucu kaçtır? A) 145 B) 175 C) 215 D) 345 E) 375
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Yanlış yapılan işlemde ikinci kısmi çarpım sola kaydırılmadan toplandığı için gerçek işlem yerine 3\cdot ab + 2\cdot ab = 75 eşitliği oluşur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yanlış işlemin matematiksel modeli
Yanlış toplama:
\text{(ab) × 3} + \text{(ab) × 2} = 75
Her terimi ayrı hesapla:
\text{(ab) × 3} = 3\cdot ab
\text{(ab) × 2} = 2\cdot ab
Toplayınca:
3\cdot ab + 2\cdot ab = 5\cdot ab
Bu eşitlik yanlış sonuçla verilmiş:
5\cdot ab = 75
Her adımı göster:
5\cdot ab = 75
ab = \dfrac{75}{5}
ab = 15
Adım 2 — Doğru sonucun ifadesi
Doğru sonuç:
\text{Doğru sonuç} = ab \times 23
Bulduğumuz değeri yerine koy:
\text{Doğru sonuç} = 15 \times 23
Adım 3 — Seçenekleri incele
Aşağıdaki karşılaştırma, 15\times23’ün yaklaşık büyüklüğünü kullanır:
15\times20 = 300
Dolayısıyla
15\times23 > 300
Buna göre seçenekleri değerlendir:
A) 145
- 145 < 300 olduğundan mümkün değil.
B) 175
- 175 < 300 olduğundan mümkün değil.
C) 215
- 215 < 300 olduğundan mümkün değil.
D) 345
- 345 > 300 olduğundan olası.
E) 375
- 375 > 300 olduğundan olası.
Adım 4 — Son doğrulama
Önce parçalar halinde hesapla:
15\times20 = 300
15\times3 = 45
Topla:
300 + 45 = 345
CEVAP: D) 345
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kısmi çarpımların sola kaydırılması
- Tanım: Bir çok basamaklı sayının çarpımında onlar basamağından elde edilen kısmi çarpım bir basamak sola kaydırılır.
- Bu problemde: Kaydırma unutulmuş; bunun sonucu kısmi çarpımlar doğrudan toplanarak 5\cdot ab elde edilmiş.
- Basamak ve çarpma dağılımı
- Tanım: (10a+b)\times n = 10a n + b n
- Bu problemde: Yanlış uygulama yerine basitçe 3\cdot ab + 2\cdot ab alınmış.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kaydırma unutulması
- Yanlış: Onlar basamağından gelen kısmi çarpımı kaydırmadan toplamak.
- Doğru: İkinci kısmi çarpımı bir basamak sola kaydırıp sonra toplamak.
- Neden yanlış: Kaydırma yapılmazsa gerçek çarpımın 10 katı etkisi kaçırılır.
- Düzeltme: Her kısmi çarpımı doğru hizalamaya dikkat ederek yaz.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?