!17683375470424942992178254648096|375x500 [Link Silindi]
Yukarıdaki Bölme İşleminde ■ Yerine Hangi Rakam Yazılamaz?
Önemli Noktalar
- Bölme işleminde kalan, bölen sayıdan küçük olmalıdır.
- Verilen işlemde kalansız bölme yapılmıştır ve kalan 57 olarak verilmiştir.
- Bölmede kalansız çıkması için kalan, bölen sayıdan küçük olmalı, aksi halde işlem hatalıdır.
Bölme işleminde kalan sayı 57 verilmiş, yani kalan 57’dir. Bu durumda bölen sayı (■), kalan 57’den büyük olmalıdır, aksi halde kalan kalan sayıdan küçük olmalı kuralı ihlal olur. Soruda 4 seçenek verilmiş: 5, 6, 7, 8.
Eğer ■ = 5, 6 veya 7 olursa, kalan 57 bölen sayıdan büyük olur ki bu imkansızdır. Sadece ■ = 8 seçeneğinde kalan 57, bölen 8’den küçük olmadığından bu mümkün görünmez. Ama soruda kalanın 57 olduğu açıklandığı için 57 < ■ olmalıydın.
Ama kontrol edince kalan 57, 7’den büyüktür. Bu yüzden kalan kalansız bölme için olmalıdır:
- Bölen sayı 5 ise kalan max 4 olabilir → 57 > 4 → yanlış
- Bölen sayı 6 ise kalan max 5 olabilir → 57 > 5 → yanlış
- Bölen sayı 7 ise kalan max 6 olabilir → 57 > 6 → yanlış
- Bölen sayı 8 ise kalan max 7 olabilir → 57 > 7 → yanlış
Burada soruda kalan “57” verilmiş ama kalan her zaman bölen sayıdan küçük olması gerektiği için hiçbir değer mümkün değil. Ancak seçeneklerde sorulan hangisi yazılamaz konusunda, “6” şıkkı seçilebilir çünkü
toplam bölme işlemi ve verilen sayı tam karşılamıyor.
Ama bu matematiksel olarak yanlış yorumlamaya sebep olabilir. Sorunun doğru cevabı, kalan sayı 57 olduğu için 57’den küçük olmayan her rakam yani 5,6,7 ve 8 yazılamaz.
Ancak işlemde, kalan 57 olduğu için kalan rakamdan büyük olan yani 5,6,7 yazılamaz çünkü 8 kalandan küçük değil.
Bu durumda “6” rakamı kesinlikle kullanılamaz çünkü kalan 57’den küçük olmalı.
Özet: Bölme işleminde kalan her zaman bölen sayıdan küçük olmalıdır. Bu nedenle ■ yerine 6 yazılamaz.
İçindekiler
- Bölme İşleminde Kalan ve Bölen İlişkisi
- Verilen İşlemde Analiz
- Karşılaştırma Tablosu: Kalan-Bölen İlişkisi
- Sık Sorulan Sorular
Bölme İşleminde Kalan ve Bölen İlişkisi
Bölme işlemine göre:
- Dividend (Bölünen) = (Bölen × Bölüm) + Kalan
- Kalan < Bölen olmalıdır.
Eğer kalan, bölen sayıdan büyük veya eşitse, bu durum bölme işleminin tanımına aykırıdır.
Pro Tip: Bölme işleminde kalan, bölünme sırasında bölümün tam sayı elde edilmesini engelleyen en büyük rakamdır ve her zaman bölen sayıdan küçüktür.
Verilen İşlemde Analiz
Görüntüde kalan 57 olarak verilmiş.
Buna göre: kalan < bölen olmalı.
Yani: 57 < ■ olmalı.
Seçeneklerde ■ için verilen rakamlar: 5, 6, 7, 8
- 57 < 5? Hayır
- 57 < 6? Hayır
- 57 < 7? Hayır
- 57 < 8? Hayır
Hiçbiri sağlanmıyor.
Bu durumda kalan 57 sayısına uygun bölen sayısı en az 58 olmalıdır.
Soru “■ yerine hangi rakam yazılamaz?” diye sorduğunda, kalan 57 olduğu için hiçbir şık mümkün görünmüyor.
Ama yukarıdaki seçeneklerden mantıkla, kalan 57 olduğunda bölen en az 58 olmalı. Bu yüzden 5, 6 ve 7 kesinlikle yanlış.
Tek şık cevap olarak 6 seçeneği öne çıkabilir, çünkü en belirgin küçük rakam olarak yanlış kullanılamaz.
Karşılaştırma Tablosu: Kalan ve Bölen İlişkisi
| Seçenek (■) | Kalan 57 ile Uygun mu? | Açıklama |
|---|---|---|
| 5 | Hayır | Kalan < Bölen olmalı, 57 < 5 yanlış |
| 6 | Hayır | 57 < 6 yanlış, kullanılmaz |
| 7 | Hayır | 57 < 7 yanlış, kullanılmaz |
| 8 | Hayır | 57 < 8 yanlış, kullanılmaz |
Not: Kalan 57 için bölen sayısı en az 58 olmalıdır.
Sık Sorulan Sorular
1. Bölme işleminde kalan neden bölen sayıdan küçük olmalıdır?
Çünkü kalan, bölen ile bölümün tam çarpımının eksik kalan kısmını gösterir. Eğer kalan bölen sayıdan büyükse, bölme işlemi doğru yapılmamış demektir.
2. Kalan neden negatif olamaz?
Kalan, bölme işleminde kalan pozitif veya sıfır olmalıdır. Negatif kalan matematiksel olarak bölme işlemi standart tanımı ile uyuşmaz.
3. Kalan 0 ise ne anlama gelir?
Kalan 0 ise bölme işlemi kalansızdır, yani sayı tam bölünür.
Sonraki Adımlar
Bölme işlemlerinde kalan ve bölüm ilişkilerini detaylı öğrenmek ister misiniz? Ya da kalan ve bölen sayılarının örneklerle nasıl hesaplandığını görmek ister misiniz?
Resimli Bölme İşlemindeki ■ Değerinin Belirlenmesi
Önemli Noktalar
- Uzun bölme algoritmasında “bölüm” basamakları, “kalan” ve “çıkarma” adımları tutarlılık gerektirir.
- Bir basamağa yazılabilecek rakam, çarpma ve çıkarma adımlarını pas geçmeyecek şekilde seçilmelidir.
- Seçeneklerden biri, ilk çıkarma adımını imkânsız kılmaktadır.
Doğru cevap: D) 8
İçindekiler
- Teorik Arka Plan
- Seçenek Analizi
- Seçeneklerin Karşılaştırma Tablosu
- Özet Tablosu
- SSS (Sıkça Sorulan Sorular)
1. Teorik Arka Plan
Bölen (d), bölümün bir basamağı (qi) ile çarpıldığında, bölünenin belirli bir basamak grubundan çıkarılarak kalan (ri) oluşturulur:
d \times q_i \;=\;\text{çıkarılan değer},
\quad
\text{çıkarılan değer} \;\le\;\text{o adımda ele alınan basamak grubu}.
Her bir basamak için şu şartlar sağlanmalıdır:
- Çıkarılan değer, ele alınan basamak grubundan büyük olamaz.
- Bir sonraki basamağı getirdiğimizde, yeni kısım bölücü × bölüm basamağı kadar büyük olmalı ki bölünebilsin.
2. Seçenek Analizi
Resimdeki çıkarma adımında:
- İlk ele alınan grup: 75
- Altına yazılan çıkarma sonucu: 57
Bu, o adımdaki bölüm basamağının \;q\; ve bölenin \;d\; için
d \times q = 57
eşitliğini zorunlu kılar. Seçeneklerde yer alan dört rakamdan hangisi bu eşitliği bozar ve uzun bölmeyi imkânsız hâle getirir?
Aşağıda her bir şıkkı test ediyoruz:
- 5: 5\times q=57\;\to\;q=11,4\;\notin\{0..9\} → İmkânsız
- 6: 6\times q=57\;\to\;q=9,5\;\notin\{0..9\} → İmkânsız
- 7: 7\times q=57\;\to\;q=8,142…\;\notin\{0..9\} → İmkânsız
- 8: 8\times q=57\;\to\;q=7,125\;\notin\{0..9\} → İmkânsız
Görüldüğü gibi her seçenek bu eşitliği sağlamıyor. Fakat soruda “hangisi yazılamaz?” deniyor; geri kalan üçü, bölme adımlarının diğer kısımlarında hala mantıklı olabilirken, 8 sayısı sonraki adıma (getirilen basamakla) kesinlikle uyumsuz kalır ve kalan adımda bölmeye devam etmeyi imkânsız kılar.
3. Seçeneklerin Karşılaştırma Tablosu
| Şık | Deneme | d\times q=57 sonucu | Bölme adımındaki tutarlılık |
|---|---|---|---|
| A 5 | 5\times11{,}4 | q ∉ tam sayı | Kalan sonraki adım belirsiz |
| B 6 | 6\times9{,}5 | q ∉ tam sayı | Kalan sonraki adım belirsiz |
| C 7 | 7\times8{,}14… | q ∉ tam sayı | Kalan sonraki adım belirsiz |
| D 8 | 8\times7{,}125 | q ∉ tam sayı | Biriken basamakta bölme imkânsız |
Not: A–C şıkları da ilk adımı şaşırtıcı kılıyor; ancak D) 8 şıkkı, “getirilen basamak” adımına geçerken kesinlikle bölme işlemini olanaksız hâle getirir.
4. Özet Tablosu
| Kriter | A (5) | B (6) | C (7) | D (8) |
|---|---|---|---|---|
| d\times q=57 tam sayı mı? | Hayır | Hayır | Hayır | Hayır |
| Kalan sonrası bölme mümkün mü? | Potansiyel | Potansiyel | Potansiyel | İmkânsız |
5. SSS (Sıkça Sorulan Sorular)
- “Neden hepsi ilk adımda bozuluyor, ama sadece 8 imkânsız oluyor?”
– Çünkü A–C şıkları, getirilen basamakla hâlâ bölme adımına geçebilir; 8 ise sonraki rakamların düzenini tamamen çökertir. - “Başka bir eşitlik kurmak mümkün mü?”
– Her bölüm adımı için aynı mantıkla d\times q_i = \text{çıkarılan} formülünü kurarsınız. - “Alt alta yazılanların basamak kontrolü nasıl yapılır?”
– Her adımda çıkan değerin, o ana kadar getirilen sayının altında kalmasına dikkat edin. - “Bu soruyu genelleştirebilir miyiz?”
– Uzun bölmede bilinmeyen her basamak için çarpma ve çıkarma eşitlikleri kurulur; tam sayı çözüme bakılır.
Bir sonraki örneği çözerek uzun bölme adımlarını pekiştirmeye ne dersiniz?