Yukarıdaki birim çemberde ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
- Birim çemberde x=\cos\theta ve y=\sin\theta ilişkileri geçerlidir.
- I. bölgede (0<\theta<\tfrac{\pi}{2}) y=\sin\theta artar.
- II. bölgede (\tfrac{\pi}{2}<\theta<\pi) x=\cos\theta azalır.
- III. bölgede (\pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2}) x=\cos\theta artar.
Cevap: A) Yalnız I
İçindekiler
1. Genel Bilgiler
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
olarak tanımlanır. \theta açısı saat yönünün tersine, pozitif x ekseninden ölçülür. Açının büyümesiyle \cos\theta ve \sin\theta fonksiyonlarının çeşitli aralıklarda monoton davranışları vardır.
2. İfadelerin Değerlendirilmesi
- I. bölge (0<\theta<\tfrac{\pi}{2}):
y=\sin\theta fonksiyonu artandır (0’dan 1’e çıkar). → Doğru - II. bölge (\tfrac{\pi}{2}<\theta<\pi):
x=\cos\theta fonksiyonu 0’dan –1’e iner, yani azalır. → II. ifade yanlış - III. bölge (\pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2}):
x=\cos\theta fonksiyonu –1’den 0’a yükselir, yani artar. → III. ifade yanlış
3. Karşılaştırma Tablosu
| Bölge | Açı Aralığı | x=\cos\theta | y=\sin\theta |
|---|---|---|---|
| I | 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} | Azalır (1 → 0) | Artar (0 → 1) |
| II | \tfrac{\pi}{2}<\theta<\pi | Azalır (0 → –1) | Azalır (1 → 0) |
| III | \pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2} | Artar (–1 → 0) | Azalır (0 → –1) |
4. Özet Tablosu
| İfade No | Durum |
|---|---|
| I | Doğru: I. bölgede y artar |
| II | Yanlış: II. bölgede x azalır |
| III | Yanlış: III. bölgede x artar |
| Cevap | A) Yalnız I |
5. SSS
S1: Birim çemberde x ve y koordinatlarının işareti nasıl belirlenir?
C: x=\cos\theta, y=\sin\theta olduğundan açının hangi çeyreğe düştüğüne bakılır.
S2: Neden II. bölgede x azalır?
C: \cos\theta fonksiyonu \tfrac{\pi}{2} ile \pi arasında negatif bölgeye doğru (0’dan –1’e) iner.
S3: III. bölgede neden x artar?
C: \cos\theta değeri –1’den 0’a doğru yükselir; bu artıştır.
S4: y koordinatının monotonluğu hangi bölgededir?
C: I. bölgede artar, II. bölgede azalır, III. bölgede de azalır.
Devamında bu konuya dair örnek sorular çözmek ister misiniz?
@Meral_Bektas
Resimdeki Birim Çember Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- Birim çemberde açı arttıkça y (ordinat) ve x (apsis) değerleri değişir.
- I. bölgede açı büyüdükçe y artar.
- II. bölgede açı büyüdükçe x (apsis) küçülür.
- III. bölgede açı büyüdükçe x (apsis) küçülür.
Birim çemberde açı 0°–90° (I. bölge), 90°–180° (II. bölge), 180°–270° (III. bölge), 270°–360° (IV. bölge) arasında değişirken, punto koordinatlarda şu değişiklikler olur:
- I. bölgede: x ve y pozitif, y (ordinat) açıyla birlikte büyür.
- II. bölgede: x negatif, küçülür; y pozitif veya azalma olabilir.
- III. bölgede: x negatif, çoğunlukla küçülür.
- IV. bölgede: y negatif, x pozitif.
Sorunun İncelemesi:
- I nolu bölge: Açı büyüdükçe y (ordinat) da büyür → Doğru.
- II nolu bölge: Açı büyüdükçe x (apsis) büyür ifadesi var, bu yanlış. Çünkü II. bölgede x negatif ve yavaşlar, yani apsis küçülür.
İfadede “apsisi büyür” yazıyor ama bu yanlış. - III nolu bölge: Açının büyümesiyle apsisin küçüldüğü söylenmiş → Doğru.
Sonuç:
- I. ifade doğru.
- II. ifade yanlış.
- III. ifade doğru.
Doğru seçenek: D) I ve III
İçindekiler
- Birim Çemberde Koordinatların Değişimi
- Bölgelere Göre Açı ve Koordinat İlişkisi
- Sorunun Detaylı Çözümü
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Birim Çemberde Koordinatların Değişimi
Birim çember, koordinat düzleminde yarıçapı 1 olan bir çemberdir.
Her noktada koordinatlar:
- x = cos(θ) (apsis)
- y = sin(θ) (ordinat)
Burada θ açısı 0°’den başlayarak pozitif yönde döner.
Bölgelere Göre Açı ve Koordinat İlişkisi
| Bölge | Açı Aralığı | x = cos(θ) (Apsis) | y = sin(θ) (Ordinat) | Değişim (Açı Artınca) |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° - 90° | Pozitif | Pozitif | x küçülür, y büyür |
| II | 90° - 180° | Negatif | Pozitif | x azalır, y azalır |
| III | 180° - 270° | Negatif | Negatif | x artar (ama negatif büyüklüğü küçülür), y azalır |
| IV | 270° - 360° | Pozitif | Negatif | x artar, y artar |
Pro Tip: İkinci bölgede açı arttıkça apsisin büyümediğini, aksine büyüklüğünün (mutlak değerinin) küçüldüğünü unutmayın.
Sorunun Detaylı Çözümü
- I. Bölge: Açı büyüdükçe sinüs (y) artar, doğru.
- II. Bölge: Açı büyüdükçe kosinüs (x) negatiften pozitife veya büyür ifadesi yanlıştır, aslında mutlak değer küçülür.
- III. Bölge: Açı büyüdükçe kosinüs (x) küçülür, yani negatif değerleri artar, yanlış ifade. Ancak soru küçük veya büyüklükten kastını karıştırmış olabilir. Genelde apsis negatif ve büyüklüğü küçülür (yaklaşır).
Soru metninde kesinlikle doğru olanlar soruluyor, II. ifadenin yanlış olması nedeniyle doğru seçenek D) I ve III.
Özet Tablo
| İfade No | İçerik | Doğruluk |
|---|---|---|
| I | I. bölgede açı arttıkça y de büyür | Doğru |
| II | II. bölgede açı arttıkça x büyür | Yanlış |
| III | III. bölgede açı arttıkça x küçülür | Doğru (mutlak değer küçülür) |
Sık Sorulan Sorular
1. Birim çemberde açı arttıkça x ve y nasıl değişir?
Açı arttıkça, x ve y değerleri cos ve sin fonksiyonları olarak değişir. İlk bölgede y artarken, ikinci bölgede x negatif ve mutlak değeri küçülür.
2. Apsis ve ordinat nedir?
Apsis x koordinatına, ordinat y koordinatına denir. Birim çemberde x = cos(θ), y = sin(θ).
3. Büyüklükten kastı nedir?
Bir sayının büyüklüğü, onun mutlak değeridir. Örneğin -0.5, -0.8’den büyüktür (daha yakındır sıfıra).
Sonraki Adımlar
Birim çember üzerindeki açıların koordinatlarla nasıl hesaplandığını öğrenmek ister misiniz? Veya trigonometrik fonksiyonların grafiklerini inceleyip örneklerle ilerleyelim mi?