Ön yüzü mavi, arka yüzü turuncu renkli ABC dik üçgeni biçimindeki kâğıt; BC kenarına ait yükseklik boyunca aşağıdaki şekilde katlanıyor.
|HB'| = 2 birim ve |B'C| = 6 birimdir.
Yukarıda verilenlere göre, |AB'| = x kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 2\sqrt{3}
D) 2\sqrt{5}
E) 5
Dik Üçgende Katlama ve Öklid Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Katlama Özelliği: Katlama çizgisi bir simetri eksenidir; uzunluklar korunur.|HB| = |HB'|
- Öklid Yükseklik Bağıntısı: Dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin karesi, tabanda ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|
- Pisagor Teoremi:|AB'|^2 = |AH|^2 + |HB'|^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Katlama Öncesi Uzunlukları Belirleme
ABH üçgeni [AH] yüksekliği boyunca katlandığında B noktası B' noktasına geldiği için |HB| = |HB'| = 2\text{ birim} olur.
Hipotenüs üzerindeki diğer parça:
|HC| = |HB'| + |B'C| = 2 + 6 = 8\text{ birim}
Adım 2 — Öklid Teoremi ile Yüksekliği (|AH|) Bulma
ABC dik üçgeninde [AH] \perp [BC] olduğundan Öklid bağıntısını uygularız:
|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|
|AH|^2 = 2 \cdot 8 = 16 \implies |AH| = 4\text{ birim}
Adım 3 — Pisagor Teoremi ile x Uzunluğunu Hesaplama
AHB' dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak x değerini buluruz:
x^2 = |AH|^2 + |HB'|^2
x^2 = 4^2 + 2^2
x^2 = 16 + 4 = 20
x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2\sqrt{5}\text{ birim} (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Katlama Geometrisi: Şekil katlandığında açı ve kenar uzunlukları değişmez, yalnızca yönü değişir (|AB| = |AB'| ve |HB| = |HB'|).
- Öklid Teoremi: Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik bilindiğinde veya arandığında en temel formüldür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Katlama sonucunda [HC] uzunluğunu sadece 6\text{ birim} alarak Öklid uygulamak.- Doğru Yaklaşım: H noktasından C noktasına kadar olan toplam uzunluğun |HC| = |HB'| + |B'C| = 2 + 6 = 8\text{ birim} olduğunu dikkate almak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir katlama ve Öklid sorusu çözmek ister misin?