Sözel Problem: Bardakların Dolu Olduğu Kısımlar ve Taşma Miktarı
Önemli Noktalar
- 4 bardak var ve her birinin içindeki su miktarı kesirle ifade edilmiş.
-
- bardak tamamen dolu.
-
- bardaktaki su başka bir bardağa boşaltıldığında taşıp taşmayacağı soruluyor.
- Kesirlerin eşit paydalarla karşılaştırılması gerekiyor.
Toplam 4 bardak verilmiş ve her biri şu şekilde dolu:
| Bardak | Dolu Kısım |
|---|---|
| I | 1/1 (tam dolu) |
| II | 5/7 |
| III | 3/4 |
| IV | 2/3 |
Soru: 1. bardaktaki tam dolu bardaktaki su, kaç numaralı bardağa boşaltılırsa o bardak taşar?
İçindekiler
1. Bardakların Kapasite Analizi
Elimizde 4 bardak var. İlk bardağın içinde tam bir su var (1/1). Diğerlerinin kapasiteleri ve doluluk oranları belirtilmiş.
Öncelikle bardakların hangi oranlarda dolu olduğunu netleştirip karşılaştırmalıyız.
- Bardak I tamamen dolu (1 = tam kapasite).
- Bardak II %5/7 dolu, yani yaklaşık 0.714.
- Bardak III %3/4 dolu, yani 0.75.
- Bardak IV %2/3 dolu, yani yaklaşık 0.666.
Bardakların doluluk oranları şöyle sıralanabilir: I (1) > III (0.75) > II (0.714) > IV (0.666).
2. Taşma Durumu İncelemesi
Soruda, 1. bardaktaki su, hangi bardağa boşaltılırsa o bardak taşar diye sorulmuş. Burada kritik olan, doldurulan bardağın doluluk oranının üzerine 1 (1. bardaktaki suyun tamamı) eklendiğinde 1’den fazla olup olmaması.
Her bardağın doluluk oranına 1 ekleyelim ve taşma oluşup oluşmadığını kontrol edelim:
- II bardak: 5/7 + 1 = 12/7 ≈ 1.714 > 1 → Taşar.
- III bardak: 3/4 + 1 = 7/4 = 1.75 > 1 → Taşar.
- IV bardak: 2/3 + 1 = 5/3 ≈ 1.666 > 1 → Taşar.
Yukarıda hepsi taşar görünüyor ama sorunun anlamı genellikle şu olur:
1. bardaktaki suyu tamamen boşalttığınızda hangi bardak taşar?
Buradaki kritik nokta, bardakların kapasitesinin belirtilmemiş olması, sadece doluluk oranlarının verilmiş olmasıdır.
Ama sorunun orijinal hali şöyle olabilir: Bardakların dolduğu oranlarla aynı oranlarda doldukları yazılmış. Eğer doluluk oranları toplam bardak kapasitesine göre ise, 1. bardaktaki suyu diğer bardağa boşaltınca, toplam doluluk kapasitesi aşılırsa o bardak taşar.
O halde bardağın boş kapasitelerini hesaplayalım:
| Bardak | Dolu oran | Boş kapasiteleri (1-dolu oran) |
|---|---|---|
| II | 5/7 | 2/7 |
| III | 3/4 | 1/4 |
| IV | 2/3 | 1/3 |
- bardaktaki su miktarı 1 birim.
Eğer 1 birim su boş bardağa boşaltılacaksa:
- II (boş alan 2/7 ≈ 0.285) < 1 → taşar.
- III (boş alan 1/4 = 0.25) < 1 → taşar.
- IV (boş alan 1/3 ≈ 0.333) < 1 → taşar.
Her üçü de taşar, yani 1. bardaktaki su diğer bardağa tamamen döküldüğünde hangi bardak taşar sorusu anlamı değişir.
Ama soruda “kaç numaralı bardak taşar?” deniyor.
Burada akla gelen, 1. bardaktaki suyu boş bardağa boşaltmak durumu değil, 1. bardaktaki su sadece ilgili bardak dolduğunda taşar demektir.
Bu durumda taşan bardak III bardak olur çünkü kapasitesi ve doluluk oranı 3/4 ve üzerine 1 bardaktaki suyu doldurunca en hızlı taşma gösteren bardağın bu olduğu düşünülebilir.
3. Sonuç ve Cevap
- bardaktaki tamamen dolu suyu diğer bardaklardan hangisine boşaltırsak o taşar?
Burada en az boş alanı olan bardak (en çok dolu olan) III. bardaktır (3/4 dolu).
Dolayısıyla cevap: III numaralı bardak taşar.
Sık Sorulan Sorular
1. Kesirlerle bardak dolulukları nasıl karşılaştırılır?
Kesirlerin paydaları eşitlenerek ya da ondalık sayıya çevrilerek karşılaştırılır.
2. Bardak taşması nasıl anlaşılır?
Doluluk oranının 1 (tam dolu) sınırını aşması taşma demektir.
3. Neden III. bardak taşar?
III. bardakta doluluk oranı 3/4 ile en yükseklerden biri ve boş kapasitesi en azdır; dolayısıyla dolu bardaktaki suyu tamamen aldığı anda taşma gerçekleşir.
Sonraki Adımlar
Kesirlerin temelinde sayıların ortak paydası nasıl bulunur öğrenmek ister misiniz? Ya da kırılma noktalarını anlamak için benzer sorular çözelim mi?
Yukarıda verilen 5 bardağın kaçta kaçının su ile dolu olduğu üzerlerine yazılmıştır. ¼’ünde su bulunan bardak, kaç numaralı bardağa boşaltılırsa o bardaktaki su taşar?
Önemli Noktalar
- Bir bardağa 1/4 hacminde su eklenirse taşma, alıcı bardağın mevcut doluluk oranı (>1 - \tfrac14 = \tfrac34) ise gerçekleşir.
- Verilen bardakların doluluk oranları:
• I. bardak: ( \tfrac{5}{8} )
• II. bardak: ( \tfrac{5}{7} )
• III. bardak: ( \tfrac{3}{4} )
• IV. bardak: ( \tfrac{2}{3} )
• V. bardak: ( \tfrac{4}{5} ) - Taşma koşulunu sağlayan tek bardak ( \tfrac{4}{5} ) = 0{,}8 doluluk oranına sahip V. bardaktır.
Doğrudan Cevap
Suyun taşması için alıcı bardağın doluluk oranı (>\tfrac34) olmalıdır. Bu koşulu sadece ( \tfrac{4}{5} ) oranıyla dolu V. bardak sağlar. Dolayısıyla su V. bardağa boşaltıldığında taşar.
İçindekiler
Çözüm
Her bir bardağın mevcut doluluk oranı (f_i) ve eklenen su miktarı (\tfrac14) olmak üzere taşma durumu
Verilen doluluk oranlarını inceleyelim:
- I. bardak: ( \tfrac58 = 0{,}625 \le \tfrac34) → taşmaz
- II. bardak: ( \tfrac57 \approx 0{,}714 \le \tfrac34) → taşmaz
- III. bardak: ( \tfrac34 = 0{,}75 \not> \tfrac34) → tam dolar, taşmaz
- IV. bardak: ( \tfrac23 \approx 0{,}667 \le \tfrac34) → taşmaz
- V. bardak: ( \tfrac45 = 0{,}8 > \tfrac34) → taşar
Sonuç: V. bardak taşma koşulunu sağlayan tek bardaktır.
Karşılaştırma Tablosu
| Bardak No | Doluluk Oranı | Taşma Durumu |
|---|---|---|
| I | (5/8) | Dökülmez |
| II | (5/7) | Dökülmez |
| III | (3/4) | Tam dolar, taşmaz |
| IV | (2/3) | Dökülmez |
| V | (4/5) | Taşar |
Özet Tablo
| Kriter | Değer |
|---|---|
| Eklenen su miktarı | (\tfrac14) |
| Taşma eşiği (maks. mevcut) | (1 - \tfrac14 = \tfrac34) |
| Taşma sağlayan doluluk oranı | (>\tfrac34) |
| Tek uygun bardak | V. bardak ((4/5)) |
SSS
S1: ¼ su eklenen bardağın taşması için doluluk oranı nasıl hesaplanır?
C1: Taşma koşulu (f + \tfrac14 > 1) ⇒ (f > \tfrac34) biçiminde bulunur.
S2: ¾ dolu bir bardağa ¼ su eklenirse taşar mı?
C2: ¾ + ¼ = 1 ⇒ tam dolar, taşmaz.
S3: Farklı bir eklenen su miktarı olsa işlem nasıl genellenir?
C3: Genel formül (f_i + x > 1) ⇒ (f_i > 1 - x) şeklindedir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir problem çözmek ister misiniz?
@Burc