Yukarıda sayfa sayısı üç basamaklı acb sayısı olan Seda’nın kitabının ardışık iki sayfası verilmiştir.
- 3ab ve aac üç basamaklı doğal sayılarından biri 5 ile diğeri 3 ile tam bölünebilmektedir.
Seda kitabı aac numaralı sayfaya kadar okuduğuna göre kitabı bitirmek için kaç sayfa daha okumalıdır?
A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32
Seda’nın Kitabının Kalan Sayfa Sayısını Bulma
KULLANILAN KURALLAR VE FORMÜLLER:
- Ardışık Sayfalar Kuralı: Kitabın ardışık iki sayfası arasındaki fark 1’dir (\text{Sağ Sayfa} = \text{Sol Sayfa} + 1).
- 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
- 3 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.
- Kalan Sayfa Sayısı: \text{Toplam Sayfa Sayısı} - \text{Okunan Sayfa Sayısı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Değerinin Belirlenmesi ve Sayfa Numaralarının İlişkilendirilmesi
Kitabın sol sayfası 3ab, sağ sayfası ise aac olarak verilmiştir. Bu iki sayfa ardışık olduğundan:
aac = 3ab + 1
3ab sayısı 3 ile başlayan üç basamaklı bir sayı olduğundan, bir sonraki sayfa olan aac sayısının da yüzler basamağı 3 olmalıdır. Buradan:
a = 3
olarak bulunur.
Değeri yerine yazdığımızda:
- Sol sayfa: 33b
- Sağ sayfa: 33c olur.
- Sayfalar ardışık olduğu için: c = b + 1 bağıntısı elde edilir.
Adım 2 — Bölünebilme Kuralları ile b ve c Rakamlarının Bulunması
33b ve 33c sayılarından biri 5 ile, diğeri 3 ile tam bölünebilmektedir. İki durumu inceleyelim:
-
Durum 1: 33c sayısı 5 ile bölünüyor ise;
c = 5 olmalıdır (c=0 olursa b=-1 olur ve rakam olamaz).
c = 5 \implies b = 4 olur.
Sayılar: 334 ve 335 olur.
334’ün rakamları toplamı 3 + 3 + 4 = 10 olup 3’ün katı değildir. Bu durum şartı sağlamaz.
-
Durum 2: 33b sayısı 5 ile bölünüyor ise;
b = 5 olmalıdır (b=0 olursa c=1 olur, 331 sayısı 3’e bölünmez).
b = 5 \implies c = 5 + 1 = 6 olur.
- Sol sayfa: 335 (5 ile tam bölünür)
- Sağ sayfa: 336 (3+3+6 = 12 olduğundan 3 ile tam bölünür)
Bu durumda tüm şartlar sağlanır:
a = 3, \quad b = 5, \quad c = 6
Adım 3 — Kalan Sayfa Sayısının Hesaplanması
- Kitabın toplam sayfa sayısı (acb): 365
- Seda’nın okuduğu sayfa sayısı (aac): 336
Kitabı bitirmek için okunması gereken sayfa sayısı:
365 - 336 = 29 \text{ sayfa}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 29
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Sayılar
- Tanım: Aralarındaki fark 1 olan tam sayılardır.
- Bu problemde: Açık bir kitabın yan yana duran sayfaları ardışık tam sayılar (335 ve 336) olarak modellenmiştir.
2. Basamak Analizi ve Bölünebilme
- Tanım: Sayıların basamak değerlerine göre çözümlenmesi ve belirli çarpanlara göre tam bölünebilme özellikleridir.
- Bu problemde: 3ab ve aac sayılarının yüzler basamağının eşitliğinden a=3 bulunmuş, 5 ve 3 ile bölünebilme kuralları yardımıyla b ve c tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
acb Sayısını Yanlış Oluşturmak
- Yanlış: Harflerin yerini karıştırıp toplam sayfa sayısını abc = 356 olarak almak.
- Doğru: Toplam sayfa sayısı acb olarak tanımlandığı için 365 olarak yazılmalıdır.
- Neden yanlış: Harf dizilimi soruda acb olarak verilmiştir; dikkat edilmezse 356 - 336 = 20 gibi yanlış sonuçlara ulaşılabilir.
Benzer bir basamak kavramı ve bölünebilme sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
