ynel Kavramlar 1
TYT MATI
n doğal sayı olmak üzere, 1 den n sayisina kadar
olan doğal sayiların toplanı K dir.
kadar
M+K =230
olduğuna göre, M kaçtır?
A) 115
B) 118
C) 120
D) 1
D) 132
E) 140
Uç basamaklı xyz doğal sayısı, iki basamaklı xy
doğal sayisından 245 taziadır.
Buna göre, x.y.z çarpimı kaçtır?
A) 11
B) 14
C) 21
D) 28
E) 32
1 den 160 a kadar olan doğal sayılar soldan saģa
doğru yan yana yazılarak,
A =1234...158159160
sayısı oluşturuluyor.
Buna göre, A sayisi kaç basamaklıdır
A) 369 B) 370 C) 371 D) 372
E) 373
Soru 98: 1’den n’ye Kadar Sayıların Toplamı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Ardışık sayıların toplamında ortak terimler sadeleştirilerek iki ifade arasındaki fark doğrudan bulunur:
M - K = (1 + 2 + \dots + n) - (5 + 6 + \dots + n) = 1 + 2 + 3 + 4 - İki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — M ve K Toplamlarının Farkını Bulma
M ve K ifadelerini açık olarak yazalım:
M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + n
K = 5 + 6 + \dots + n
M toplamından K toplamını çıkardığımızda, 5’ten n’ye kadar olan tüm terimler birbirini götürür:
M - K = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Adım 2 — Denklem Sistemini Kurma ve M Değerini Hesaplama
Soruda verilen toplam ile bulduğumuz farkı taraf tarafa toplayalım:
M + K = 230
M - K = 10
İki denklemi alt alta topladığımızda K değerleri sadeleşir:
(M + K) + (M - K) = 230 + 10
2M = 240
M = \frac{240}{2} = 120
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (120)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Terimlerin Sadeleşmesi
- Tanım: İki sonlu toplam birbirinden çıkarıldığında ortak olan elemanlar sıfırlanır.
- Bu problemde: 5’ten n’ye kadar olan ortak sayılar çıkarılarak M - K = 10 bağıntısı elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
n Sayısını Bulmaya Çalışmak
- Yanlış: \frac{n(n+1)}{2} formülünü yazıp n’yi bulmaya odaklanmak.
- Doğru: Soru doğrudan M’yi sorduğu için taraf tarafa toplama yaparak n’ye ihtiyaç duymadan çözüme ulaşmak.
- Neden yanlış: n’yi bulmaya çalışmak gereksiz yere ikinci dereceden denklem kurdurur ve zaman kaybettirir.
Soru 99: Basamak Kavramı ve Çözümleme Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Çok basamaklı sayıların parçalı çözümlenmesi:
xyz = 10 \cdot (xy) + z - Bölme algoritması yardımıyla katsayı ve rakam belirleme:
A = B \cdot Q + K \quad (0 \le K < B)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıyı xy Cinsinden Çözümleme
Üç basamaklı xyz sayısı, iki basamaklı xy sayısından 245 fazladır:
xyz - xy = 245
xyz sayısını xy cinsinden yazalım:
xyz = 100x + 10y + z = 10(10x + y) + z = 10 \cdot (xy) + z
Adım 2 — Denklemi Sadeleştirme ve Değerleri Bulma
Eşitliği denklemde yerine yazalım:
10 \cdot (xy) + z - xy = 245
9 \cdot (xy) + z = 245
Burada xy iki basamaklı bir doğal sayı, z ise bir rakamdır (0 \le z \le 9).
245 sayısını 9’a bölelim:
245 = 9 \times 27 + 2
Bu eşitlikten:
xy = 27
z = 2 bulunur.
Adım 3 — Rakamların Çarpımını Hesaplama
xy = 27 olduğuna göre:
x = 2
y = 7
z = 2
İstenen çarpım:
x \cdot y \cdot z = 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (28)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Blok Halinde Basamak Çözümleme
- Tanım: Sayıları tek tek basamaklarına ayırmak yerine bloklar halinde (10 \cdot xy + z) ifade etme yöntemidir.
- Bu problemde: xyz = 10 \cdot xy + z yazılarak işlem tek değişkene indirgenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tüm Basamakları Ayrı Ayrı Açmak
- Yanlış: 100x + 10y + z - (10x + y) = 90x + 9y + z = 245 yazıp değer vermekte zorlanmak.
- Doğru: İfadeyi 9(10x+y) + z = 9(xy) + z = 245 olarak görüp 9’a bölme kalan ilişkisini kullanmak.
- Neden yanlış: 3 farklı değişkene rastgele değer vermek deneme yanılma süresini artırır.
Soru 100: Yan Yana Yazılan Sayıların Basamak Sayısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Belirli bir aralıktaki terim sayısı formülü:
\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 - Toplam basamak sayısı = (\text{Terim Sayısı}) \times (\text{Basamak Değeri})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 1 Basamaklı Sayıların Basamak Sayısını Bulma
1’den 9’a kadar olan sayılar:
Terim sayısı: 9 - 1 + 1 = 9 tane sayı.
Basamak katkısı: 9 \times 1 = 9 basamak.
Adım 2 — 2 Basamaklı Sayıların Basamak Sayısını Bulma
10’dan 99’a kadar olan sayılar:
Terim sayısı: 99 - 10 + 1 = 90 tane sayı.
Basamak katkısı: 90 \times 2 = 180 basamak.
Adım 3 — 3 Basamaklı Sayıların Basamak Sayısını Bulma
100’den 160’a kadar olan sayılar:
Terim sayısı: 160 - 100 + 1 = 61 tane sayı.
Basamak katkısı: 61 \times 3 = 183 basamak.
Adım 4 — Toplam Basamak Sayısını Hesaplama
Tüm basamakları toplayalım:
\text{Toplam Basamak} = 9 + 180 + 183 = 372
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (372)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Gruplaması
- Tanım: Ardışık sayılar yan yana yazıldığında basamak sayılarına göre (1 basamaklı, 2 basamaklı, 3 basamaklı) gruplandırılarak sayılır.
- Bu problemde: 1-9, 10-99 ve 100-160 aralıkları ayrı ayrı incelenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Terim Sayısını Eksik Hesaplamak
- Yanlış: 160 - 100 = 60 deyip +1 eklemeyi unutmak.
- Doğru: Hem 100 hem de 160 dahil olduğu için 160 - 100 + 1 = 61 terim vardır.
- Neden yanlış: Sınır değerlerinin her ikisi de dahil olduğunda farka mutlaka 1 eklenmelidir.
Bu üç sorudan özellikle takıldığın veya benzer bir pratik soru daha çözmemi istediğin bir tanesi var mı?