- Bir ok atma yarışmasında, her bölgeden alınan puanlar görselde verilmiştir. Bu yarışmada Yılmaz ile Serpil final turunda şu şekilde atışlar yapmıştır:
• Yılmaz’ın isabet ettirdiği bölgelerin puanları aralarında asaldır.
• Önce Serpil sonra Yılmaz, ikişer tane isabetli atış yapmışlardır.
Serpil ile Yılmaz’ın yaptığı atışlar sonunda oklar, farklı renkteki bölgeleri isabet ettiğine göre, Serpil’in aldığı puan, Yılmaz’ın aldığı puandan en fazla kaç fazladır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4 - Bir otelin bir katında bulunan odaların sıra numarası ile oda numarasının aralarında asal ise bu odalar iki kişilik, aralarında asal değil ise 3 kişiliktir. Bir katta bulunan odalar görselde verilmiştir.
Üç kişilik odada bir kişi gecelik ücreti 1000 TL iken iki kişilik odada bir kişi gecelik ücreti 2000 TL’dir.
Buna göre bu odaların tam dolu olduğu bir gecede bir kattaki odalardan elde edilen toplam gelir kaç TL’dir?
A) 8000
B) 12 000
C) 20 000
D) 24 000
Görselde yer alan 17 ve 18 numaralı soruların ayrıntılı çözümleri aşağıda adım adım sunulmuştur.
17. Soru: Ok Atma Yarışması
Aralarında Asal Sayılar ile En Yüksek Puan Farkı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Birden başka ortak pozitif böleni olmayan sayma sayılarına aralarında asal sayılar denir (\text{EBOB}(a, b) = 1).
- İki kişi arasındaki farkın en çok olması için; eksilenin (Serpil’in puanı) en büyük, çıkanın (Yılmaz’ın puanı) en küçük olması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Hedef Tahtasındaki Puanların Belirlenmesi
Hedef tahtasında vurulabilecek bölgelerin puanları:
\{2, 3, 4, 5, 6\}
Toplam 4 ok atılmış ve her biri farklı renkteki bölgelere isabet etmiştir. Dolayısıyla bu 5 puandan 4 tanesi seçilecektir.
Adım 2 — Serpil’in Puanını En Yüksek Yapma
Serpil’in puanlarının toplamının en büyük olması için en yüksek puanlar seçilmelidir:
- En büyük iki sayı: 6 ve 5
- \text{EBOB}(6, 5) = 1 olduğu için bu sayılar aralarında asaldır.
\text{Serpil'in Puanı} = 6 + 5 = 11
Adım 3 — Yılmaz’ın Puanını En Düşük Yapma
Geriye kalan sayılar: \{2, 3, 4\}. Yılmaz’ın puanının en küçük olması için kalanlar arasından en küçük iki aralarında asal sayı seçilmelidir:
- En küçük iki sayı: 2 ve 3
- \text{EBOB}(2, 3) = 1 olduğu için aralarında asaldır.
\text{Yılmaz'ın Puanı} = 2 + 3 = 5
Adım 4 — Puan Farkının Hesaplanması
\text{Fark} = 11 - 5 = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
18. Soru: Otel Odaları Gelir Hesabı
Aralarında Asallık Durumuna Göre Oda Kapasitesi ve Gelir
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{EBOB}(\text{Sıra No}, \text{Oda No}) = 1 \implies \text{2 Kişilik Oda}
- \text{EBOB}(\text{Sıra No}, \text{Oda No}) > 1 \implies \text{3 Kişilik Oda}
- \text{Toplam Gelir} = (\text{Oda Sayısı} \times \text{Kişi Sayısı} \times \text{Kişi Başı Ücret})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Odaların Kişi Kapasitelerinin Belirlenmesi
Her kapının sıra numarası ve oda numarasının ortak bölenlerini inceleyelim:
- 1. Kapı (Sıra: 1, Oda: 11): \text{EBOB}(1, 11) = 1 (Aralarında asal) \rightarrow \mathbf{2\text{ Kişilik}}
- 2. Kapı (Sıra: 2, Oda: 12): \text{EBOB}(2, 12) = 2 \neq 1 (Aralarında asal değil) \rightarrow \mathbf{3\text{ Kişilik}}
- 3. Kapı (Sıra: 3, Oda: 13): \text{EBOB}(3, 13) = 1 (Aralarında asal) \rightarrow \mathbf{2\text{ Kişilik}}
- 4. Kapı (Sıra: 4, Oda: 14): \text{EBOB}(4, 14) = 2 \neq 1 (Aralarında asal değil) \rightarrow \mathbf{3\text{ Kişilik}}
- 5. Kapı (Sıra: 5, Oda: 15): \text{EBOB}(5, 15) = 5 \neq 1 (Aralarında asal değil) \rightarrow \mathbf{3\text{ Kişilik}}
- 6. Kapı (Sıra: 6, Oda: 16): \text{EBOB}(6, 16) = 2 \neq 1 (Aralarında asal değil) \rightarrow \mathbf{3\text{ Kişilik}}
Oda türlerine göre toplam sayılar:
- 2 kişilik oda sayısı: 2 adet (1 ve 3 numaralı sıralar)
- 3 kişilik oda sayısı: 4 adet (2, 4, 5 ve 6 numaralı sıralar)
Adım 2 — Odalardan Elde Edilen Gelirlerin Hesaplanması
Odalar tamamen dolduğunda:
- 2 kişilik odalardan elde edilen gelir:\text{Gelir}_2 = 2\text{ oda} \times 2\text{ kişi} \times 2000\text{ TL} = 8000\text{ TL}
- 3 kişilik odalardan elde edilen gelir:\text{Gelir}_3 = 4\text{ oda} \times 3\text{ kişi} \times 1000\text{ TL} = 12000\text{ TL}
Adım 3 — Toplam Gelir
\text{Toplam Gelir} = 8000\text{ TL} + 12000\text{ TL} = 20000\text{ TL}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 20 000
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 1 ile Her Sayı Aralarında Asaldır: 1 sayısının 1’den başka pozitif böleni olmadığı için kendisi dışındaki tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır (\text{EBOB}(1, 11) = 1).
- Ardışık Sayılar Aralarında Asaldır: Ardışık iki pozitif tam sayı (örneğin 5 ve 6, 2 ve 3) her zaman aralarında asaldır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kişi başı ücreti doğrudan oda ücreti gibi düşünerek oda sayısı ile çarpmak (2 \times 2000 = 4000\text{ TL} demek).- Doğru Yaklaşım: Odalar tam dolu olduğu için önce odadaki kişi sayısı, ardından kişi başı ücret ile çarparak oda başı toplam geliri hesaplamak (2\text{ kişi} \times 2000\text{ TL} = 4000\text{ TL} oda başı gelir).
Aralarında asal sayılarla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?