yi o öğrencinin
ştirerek bir kayıt
için yalnız bir
leşirse bu
arkdı kitap sayısı
asi
ciye ait olması
MİRAY YAYINLARI
Ayşe, bir duvarin arkasındaki ağacı bulunduğu konumdan
görememektedir. Ayşe’nin gÕz seviyesi yerden 140 cm
yüksektedir.
Ayşe, ağacın tepesini gõrebildiği iki farklı durunu fak
etmiştir:
30 cm zipladığında,
Duvara olan uzaklığ, başlangiçtaki uzaklğinın iki kat
olacak şekilde geri çekildlğinde
Her iki durumda da ağacın tepesini duvarın üstünden tam
sinirda görebilmektedir.
Buna göre duvarın yüksekliği kaç cm’dir?
D) 200
B) 180
E) 210
e 190
Ayşe’nin Duvar Arkasındaki Ağacı Görme Problemi ve Duvarın Yüksekliği
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL: Doğrusal görme çizgisi (benzerlik / doğru eğimi) kuralı:
\text{Eğim} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Ağacın tepe noktası, duvarın üst sınırı ve Ayşe’nin göz hizası aynı doğru üzerinde olduğunda görüş sınırda gerçekleşir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri ve İlk Durumu Tanımlama
- Ayşe’nin başlangıçtaki göz yüksekliği: 140\text{ cm}
- Duvarın yüksekliği: h
- Ağacın yüksekliği: H
- Ayşe’nin duvara olan başlangıç uzaklığı: d_2
- Duvar ile ağaç arasındaki uzaklık: d_1
Adım 2 — 1. Durumun Denklemini Kurma (30 cm Zıpladığında)
Ayşe 30\text{ cm} zıpladığında göz seviyesi 140 + 30 = 170\text{ cm} olur. Duvara olan uzaklığı d_2 olarak kalır. Görüş çizgisi doğrusal olduğundan:
\frac{h - 170}{d_2} = \frac{H - h}{d_1}
Adım 3 — 2. Durumun Denklemini Kurma (Duvara Uzaklığı 2 Katına Çıktığında)
Ayşe 140\text{ cm} göz hizasındayken duvardan 2d_2 uzaklığa çekildiğinde:
\frac{h - 140}{2d_2} = \frac{H - h}{d_1}
Adım 4 — İki Durumu Eşitleme ve Duvarın Yüksekliğini (h) Bulma
Her iki durumda da duvarın üstü ile ağacın tepesi arasındaki bağıntı \frac{H - h}{d_1} değerine eşit olduğundan, sol taraftaki eğimler birbirine eşitlenir:
\frac{h - 170}{d_2} = \frac{h - 140}{2d_2}
Her iki tarafı d_2 ile sadeleştirelim:
h - 170 = \frac{h - 140}{2}
İçler-dışlar çarpımı yapalım:
2(h - 170) = h - 140
2h - 340 = h - 140
2h - h = 340 - 140
h = 200\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 200
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Görüş Çizgisi ve Benzerlik
- Tanım: Bir cismin tepe noktasının bir engelin üzerinden tam sınırda görülebilmesi için göz, engelin tepe noktası ve cismin tepe noktası aynı doğru üzerinde (aynı eğimde) olmalıdır.
- Bu problemde: Duvarın tepe noktası ile ağacın tepe noktası sabit olduğundan, Ayşe’nin göz hizası ile duvar arasındaki dikey farkın yatay mesafeye oranı iki durumda da sabit bir orana eşitlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Zıplama yüksekliğini doğrudan duvar yüksekliğinden çıkarma
- Yanlış: 140 + 30 = 170 diyerek cevabı doğrudan 170\text{ cm} (A seçeneği) olarak işaretlemek.
- Doğru: Ayşe zıpladığında ağacın tepesini görmektedir, duvarın tepesini değil. Ağaç arkada kaldığı için duvar yüksekliği 170\text{ cm}'den daha büyük olmalıdır.
- Neden yanlış: Perspektif ve benzerlik oranını hesaba katmadan doğrudan göz seviyesini duvar boyu kabul etmek yanıltıcıdır.
Benzer üçgen ve perspektif içeren başka bir geometri sorusu çözmemi ister misin?
@Egitim_Danismani anlamadım daha detaylı anlat mesela bi tarafı d1e bölerken diger tarafi d2ye niye böluyoruz
Görüş Çizgisinde Benzerlik ve Eğim Mantığı
KULLANILAN KURAL: Doğrusal Görüş Çizgisi ve Dik Üçgenlerde Benzerlik (Tanjant / Eğim Kuralı)
\text{Eğim } (\tan\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar (Dikey Fark)}}{\text{Komşu Dik Kenar (Yatay Mesafe)}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Görüş Doğrusunu ve Noktaları Tanımlama
Ağacın tepesi, duvarın üst kenarı ve Ayşe’nin gözü tam aynı düz çizgi (doğru) üzerinde hizalandığında ağaç “tam sınırda” görülür.
Bu durumu soldan sağa yatay bir zemin üzerinde üç nokta olarak düşünelim:
- Nokta 1 (Ağaç): Yüksekliği H, duvara yatay uzaklığı d_1
- Nokta 2 (Duvar): Yüksekliği h (Ortadaki referans noktamız)
- Nokta 3 (Ayşe’nin Gözü): Yüksekliği 140\text{ cm} veya 170\text{ cm}, duvara yatay uzaklığı d_2
Adım 2 — Neden Dikey Farkı Yatay Mesafeye Bölüyoruz?
Işığın izlediği görüş çizgisi tek bir eğimli doğru oluşturur. Bu doğru üzerinde duvarı merkez alarak iki ayrı dik üçgen çizeriz:
-
Duvar ile Ağaç Arasındaki Dik Üçgen:
- Dikey Yükseklik Farkı: H - h (Ağacın tepe noktası ile duvarın üstü arasındaki yükseklik)
- Yatay Mesafe: d_1 (Ağaç ile duvar arasındaki mesafe)
- Doğrunun Eğimi: \frac{\text{Dikey Fark}}{\text{Yatay Mesafe}} = \frac{H - h}{d_1}
-
Duvar ile Ayşe Arasındaki Dik Üçgen:
- Dikey Yükseklik Farkı: h - \text{Göz Yüksekliği} (Duvar ile Ayşe’nin gözü arasındaki yükseklik farkı)
- Yatay Mesafe: d_2 (Ayşe ile duvar arasındaki mesafe)
- Doğrunun Eğimi: \frac{\text{Dikey Fark}}{\text{Yatay Mesafe}} = \frac{h - \text{Göz Yüksekliği}}{d_2}
Aynı düz çizgi üzerinde hareket edildiği için bu iki üçgenin eğim açıları (\alpha) aynıdır. Dolayısıyla:
\frac{h - \text{Göz}}{d_2} = \frac{H - h}{d_1}
Adım 3 — İki Durumun Karşılaştırılması ve d_1, H Değerlerinden Kurtulma
Ağaç ve duvar yerinden hiç oynamadığı için sağ taraf, yani \frac{H - h}{d_1} oranı sabittir.
-
1. Durum (Ayşe 30 cm zıpladığında, göz = 170\text{ cm}):
\text{Eğim} = \frac{h - 170}{d_2} = \frac{H - h}{d_1} -
2. Durum (Ayşe duvardan 2 kat geriye çekildiğinde, mesafe = 2d_2, göz = 140\text{ cm}):
\text{Eğim} = \frac{h - 140}{2d_2} = \frac{H - h}{d_1}
İki ifadenin de sağ tarafı aynı sabit değere (\frac{H - h}{d_1}) eşit olduğu için sol tarafları doğrudan birbirine eşitleriz:
\frac{h - 170}{d_2} = \frac{h - 140}{2d_2}
Adım 4 — Cebirsel Sadeleştirme ve Sonuç
Paydadaki ortak olan d_2 uzaklıkları birbirini götürür:
h - 170 = \frac{h - 140}{2}
İçler-dışlar çarpımı yaptığımızda:
2 \cdot (h - 170) = h - 140
2h - 340 = h - 140
2h - h = 340 - 140
h = 200\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 200
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrunun Eğimi (\tan\alpha)
- Tanım: Bir dik üçgende açının karşısındaki dikey uzunluğun, komşusundaki yatay uzunluğa oranıdır.
- Bu problemde: d_1 ağaç tarafındaki yatay taban, d_2 ise Ayşe tarafındaki yatay tabandır. Her iki tarafta da dikey fark kendi yatay tabanına bölünerek aynı doğrunun eğimi ifade edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yatay Mesafeleri Birbirine Karıştırmak
- Yanlış: Ayşe’nin boy farkını d_1’e, ağacın boy farkını d_2’ye bölmek.
- Doğru: Hangi bölgenin dikey farkı alınıyorsa o bölgenin kendi yatay mesafesine (d_1 veya d_2) bölünmelidir.
- Neden yanlış: Dik üçgenin dikey kenarı sadece kendi yatay tabanı ile oranlandığında doğru eğimi verir.
Benzer üçgenlerde oran kurma mantığını pekiştirmek için buna benzer bir gölge veya görüş açısı sorusu daha çözmemi ister misin?