Ygfugugg

YKS TYT
1

image
image720×960 46.8 KB

2

:pushpin: SORU: Rastgele seçilen 4 polinomun çarpımı P(x) olarak tanımlanıyor. P(x) polinomunun katsayılar toplamı sıfır değilse, P(x)'in (x - 6) ile bölümünden kalan nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir polinomun katsayılar toplamı, polinomun 1 sayısı yerine konduğunda elde edilen değere eşittir: P(1)
  • Bir polinomun (x - a) ile bölümünden kalan, polinomun a sayısı yerine konduğunda elde edilen değerdir: P(a)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Seçenekleri incele

Verilenler:

  • Kâğıtlar: (x-1), (x-2), (x-3), (x-4), (x-5)
  • Rastgele 4 tane seçiliyor, 5’ten 4’lü seçmeler var.
  • 4 ifade seçilip çarpılıyor, sonuç polinom P(x) .
  • P(x) polinomunun katsayılar toplamı sıfır değil.

Adım 2 — Tüm 4’lü kombinasyonları yaz

5 ifade var, 4 tanesi seçiliyor:

  1. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
  2. (x-1)(x-2)(x-3)(x-5)
  3. (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)
  4. (x-1)(x-3)(x-4)(x-5)
  5. (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Adım 3 — Her bir polinomun katsayılar toplamı bulunur

Katsayılar toplamı = P(1) 'dir.

Örneğin 1. polinom için:

P(1) = (1-1)(1-2)(1-3)(1-4) = 0 \times (-1) \times (-2) \times (-3) = 0
  1. polinom da hesaplayalım:
P(1) = (1-1)(1-2)(1-3)(1-5) = 0 \times (-1) \times (-2) \times (-4) = 0
  1. polinom:
P(1) = (1-1)(1-2)(1-4)(1-5) = 0 \times (-1) \times (-3) \times (-4) = 0
  1. polinom:
P(1) = (1-1)(1-3)(1-4)(1-5) = 0 \times (-2) \times (-3) \times (-4) = 0
  1. polinom:
P(1) = (1-2)(1-3)(1-4)(1-5) = (-1)(-2)(-3)(-4) = (-1)(-2)(-3)(-4)

İşlem yapalım:

(-1) \times (-2) = 2
2 \times (-3) = -6
-6 \times (-4) = 24

Yani:

P(1) = 24 \neq 0

Adım 4 — Verilen şartı sağlayan tek polinom 5. seçenektir

Katsayılar toplamı sıfır olmayan tek polinom (x-2)(x-3)(x-4)(x-5).

Adım 5 — Kalanı hesapla P(6)

İstenen şey: P(x) 'in (x-6) ile bölümünden kalan, yani P(6) :

P(6) = (6-2)(6-3)(6-4)(6-5) = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

:white_check_mark: CEVAP: B) 4! (24)

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Polinomun katsayılar toplamı
  • Polinomdaki tüm katsayıların toplamıdır.
  • Polinomun 1 sayısı yerine konarak bulunabilir.
  1. Polinom bölme işlemi
  • (x - a) polinomuna bölümünden kalan P(a) ile bulunur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Ahmet panodaki (x-1),(x-2),(x-3),(x-4),(x-5) ifadelerinden rastgele dört tanesini seçiyor. Seçilenlerin çarpımı P(x) polinomunun katsayılar toplamı sıfır olmadığına göre, P(x) polinomunun (x-6) ile bölümünden kalan kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Kural 1: Bir polinomun katsayılar toplamı polinomun x=1 değerine eşittir, yani katsayılar toplamı = f(1).
  • Kural 2 (Bölme teoremi): Bir polinomun (x-a) ile bölümünden kalan f(a)'dır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Katsayılar toplamı koşulunu uygula
Polinomun katsayılar toplamı sıfır değil demek P(1)\neq 0.
Her bir faktörü x=1 için değerlendir: (1-1)=0, diğerleri (1-2)=-1,(1-3)=-2,(1-4)=-3,(1-5)=-4.
Eğer seçime (x-1) dahil olsaydı P(1)=0 olurdu; o halde seçilen dört ifade (x-1) içermemelidir, yani atılan ifade (x-1) olmalıdır.

Adım 2 — P(x) ifadesini yaz
Seçilen dört ifade (x-2),(x-3),(x-4),(x-5) olduğuna göre
P(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).

Adım 3 — Bölme teoremine göre kalan için nokta belirle
(x-6) ile bölümün kalanı P(6) olacaktır.

Adım 4 — P(6)'yı hesapla
P(6)=(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)
=\;4\times3\times2\times1
=\;24.

Adım 5 — Şıklara tek tek bak
A Seçeneği: 3! = 6. 6 ≠ 24 ⇒ YANLIŞ.
B Seçeneği: 4! = 24. 24 = P(6) ⇒ DOĞRU.
C Seçeneği: 5! = 120. 120 ≠ 24 ⇒ YANLIŞ.
D Seçeneği: 6! = 720. 720 ≠ 24 ⇒ YANLIŞ.
E Seçeneği: 7! = 5040. 5040 ≠ 24 ⇒ YANLIŞ.

Adım 6 — Son doğrulama
B seçeneği olan 4! = 24, hesaplanan kalan P(6)=24 ile tam uyumludur; bu nedenle doğru cevap B seçeneğidir.

:white_check_mark: CEVAP: B) 4!

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?