Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarda soruyu ayrıntılı biçimde çözeceğiz. Verilen ifade şudur:
• Bir dış bükey çokgende, toplam köşegen sayısı (T), bir köşesinden çıkan köşegen sayısının (M) tam 4 katına eşittir.
Önce bazı temel tanımlara göz atalım:
İçindekiler
- Temel Tanımlar ve Formüller
- Köşegen Sayısı Formülleri
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Hesaplamalar ve Denemeler
- Genel Sonuç ve Kısa Özet
- Özet Tablo
- Kaynaklar
1. Temel Tanımlar ve Formüller
Bir dış bükey n-gen (yani n kenarlı dış bükey çokgen) için:
- Köşegen (Diagonal): Bir çokgende, iki köşeyi birleştiren ve kenarlardan biri olmayan doğru parçalarına köşegen denir.
- Dış Bükey Çokgen (Convex Polygon): Tüm iç açılarının ölçüsü $180^\circ$’ten küçük olduğu çokgendir. Burada, kenar sayısı n \ge 3 olmalıdır.
Köşegenlerle İlgili Temel Formüller
- Toplam köşegen sayısı:T = \frac{n(n - 3)}{2}
- Bir köşeden geçen köşegen sayısı:M = n - 3
Neden M = n - 3? Bir köşeden o köşe hariç diğer tüm köşelere çizilebilecek çizgiler toplam n-1 tanedir. Ancak, bunlardan ikisini zaten bitişik kenarlar (o köşeye komşu olan kenarlar) oluşturduğundan, geriye köşegen olarak kabul edilebilecek n-3 çizgi kalır.
2. Köşegen Sayısı Formülleri
Bir dış bükey n-genin:
-
Toplam köşegen sayısı – T:
T = \frac{n(n - 3)}{2} -
Bir köşesinden geçen köşegen sayısı – M:
M = n - 3
Soru metninde:
“Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?”
ifadesi doğrultusunda verilen denklem:
Biçiminde yazabiliriz.
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Temel Denklem Kurulumu
Yukarıda verdiğimiz formülleri kullanarak:
- Toplam köşegen sayısı, T = \frac{n(n - 3)}{2}
- Bir köşeden geçen köşegen sayısı, M = n - 3
Verilen problemde T = 4 \cdot M olduğundan:
Adım 2: Denklemi Çözme
Denklemi daha basit hale getirmek için her iki tarafı 2 ile çarparız:
Sol tarafı açalım:
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
Adım 3: Elde Edilen İkinci Derece Denklemi Çözme
Oluşan denklem:
Bu denklemi çarpanlara ayırmaya çalışalım:
- 24’ü çarpanlarıyla düşünürsek (1,24), (2,12), (3,8), (4,6)…
- Toplamları -11 edeceği şekilde negatif işaretlere dikkat ederek (n-8)(n-3) formu uygundur.
Dolayısıyla:
Adım 4: Denklemin Köklerini Bulma
Denklemin kökleri şunlardır:
- n = 8
- n = 3
n = 3 için durum:
- Bir üçgenin (n=3) köşegen sayısı sıfırdır: T=0.
- Bir köşeden geçen köşegen sayısı da sıfırdır: M=0.
- Dolayısıyla T = 4 \cdot M eşitliği 0 = 4 \cdot 0 şeklinde sağlanır, ancak üçgende köşegen yoktur. Genelde bu tür sorularda “köşegeni olan” bir çokgen kastedilir. Minimum köşegen oluşabilmesi için n>3 olmalıdır.
n = 8 için durum:
- n=8 olduğunu düşünelim (sekizgen). Bir dışbükey sekizgen vardır ve köşegenler anlamlı bir sayıdadır. Her köşeden geçen köşegen sayısı 8-3=5, toplam köşegen sayısı \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 olur.
- Kontrol edelim: “Toplam 20 köşegen, bir köşesinden 5 köşegen geçmektedir, 20 = 4 \cdot 5” tam olarak sağlanır.
Dolayısıyla geçerli (işlevsel) çözüm n=8 olarak bulunur.
4. Örnek Hesaplamalar ve Denemeler
Bu bölümde, farklı n değerleri için T ve M değerlerine göz atalım:
| n | Toplam Köşegen (T = n(n-3)/2) | Bir Köşeden Köşegen (M = n-3) | T = 4M Denklemi Sağlar mı? |
|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 | T = 0, 4M = 0 → Evet (ancak 3gen köşegeni yok) |
| 4 | 2 | 1 | 2 = 4*1 → Hayır (2 = 4) Yanlış |
| 5 | 5 | 2 | 5 = 4*2 → Hayır (5 = 8) Yanlış |
| 6 | 9 | 3 | 9 = 4*3 → Hayır (9 = 12) Yanlış |
| 7 | 14 | 4 | 14 = 4*4 → Hayır (14 = 16) Yanlış |
| 8 | 20 | 5 | 20 = 4*5 → Evet (20 = 20) Doğru |
| 9 | 27 | 6 | 27 = 4*6 → Hayır (27 = 24) Yanlış |
Tablodan da görüleceği üzere n=8 değeriyle eşitlik sağlanmakta, n=3 de teknik olarak sağlansa da “köşegeni olan dış bükey çokgen” şartını gerçek manada karşılayan tek anlamlı değer $n=8$’dir.
5. Genel Sonuç ve Kısa Özet
• Problem: Köşegen sayısı (T), bir köşeden geçen köşegen sayısının (M) 4 katına eşitse, dış bükey çokgenin kaç kenarı vardır?
• Çözüm: T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 formüllerini kullanıp T=4M denklemini çözdük.
• Çıkan Denklemler: n(n-3)/2 = 4(n-3) \implies n^2 - 11n + 24=0 \implies n=3 \text{ veya } n=8.
• Yorum: Üçgende köşegen olmadığı (köşegen sayısı sıfır) için asıl geçerli çözüm, sekizgen (n=8) olarak alınır.
Dolayısıyla aradığımız dışbükey çokgenin kenar sayısı 8’dir.
6. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda denklem çözüm adımlarını ve elde edilen değerleri özetlemekteyiz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Formüllerin Belirlenmesi | T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 | Bu formüllerle T=4M denklemi kurulacak |
| 2. Denklem Kurulumu | \frac{n(n - 3)}{2} = 4(n - 3) | Eşitliği elde ediyoruz |
| 3. Her İki Tarafı 2 ile Çarpma | n(n - 3) = 8(n - 3) | |
| 4. Genişletme ve Düzenleme | n^2 - 3n = 8n -24 \implies n^2 - 11n + 24 = 0 | İkinci dereceden denklem |
| 5. Köklerin Bulunması | (n - 8)(n -3) = 0 | n=8 veya n=3 |
| 6. Mantıksal Seçim | n=3 üçgende köşegen yok. Uygun çokgen için n=8 | Sekizgen cevabı |
| 7. Sonuç | Kenar sayısı = 8 | Cevap: 8 |
7. Kaynaklar
- Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları)
- Temel Geometri Kavramları ve Problemler, Açıköğretim Kaynakları
- OpenStax Geometry (İngilizce Kaynak)
Sonuç ve Özet
Bu tür bir soruda, dış bükey n-genin köşegen sayısı formülü (T = n(n -3)/2) ve tek bir köşeden çıkan köşegen sayısı formülü (M = n-3) yardımıyla T=4M koşulu sağlanarak ikinci dereceden denklem çözülür. Elde edilen n=8 değeri, söz konusu çokgenin sekizgen olduğunu gösterir.