Yfnsa

LİSE 10.sınıf
,
1

1000006230
1000006230595×356 19 KB

2

Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevap:

Tanımlar ve Formüller

  • n: Çokgenin kenar (ve köşe) sayısı
  • Bir çokgenin toplam köşegen sayısı:
    D = \frac{n(n-3)}{2}
  • Bir köşeden çıkan köşegen sayısı:
    d = n - 3

Sorunun Verisi

Toplam köşegen sayısı, bir köşeden çıkan köşegen sayısının 4 katına eşit.

  • Yani:
    D = 4d

Formülleri yerine koyarsak:

\frac{n(n-3)}{2} = 4(n-3)

Denklemin Çözümü

Her iki tarafı da 2 ile çarpalım:

n(n - 3) = 8(n - 3)

Sadeleşen terimi oluşturalım:

  • n - 3 ortak terim, farklı bir değer olmalı (n > 3 olmalı ki çokgen oluşsun, ve n\neq3):
n(n - 3) - 8(n - 3) = 0
(n - 3)[n - 8] = 0

Buradan iki seçenek çıkar:

1. n-3=0 \implies n=3 (Ama üçgenin köşegeni yok)

2. n-8=0 \implies n=8

Sonuç ve Kontrol

n=8 çözümümüzdür. 8 kenarlı dış bükey çokgen yani sekizgen.

Kontrol edelim:

  • Bir sekizgende köşegen sayısı:
    D = \frac{8 \times 5}{2} = 20
  • Bir köşeden çıkan köşegen sayısı:
    d = 8-3 = 5
  • 4 katı: 4 \times 5 = 20

Uygun geliyor, doğru!

CEVAP:

Dış bükey çokgenin kenar sayısı \boldsymbol{8}'dir (sekizgen).

@User

3

Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Answer:

1. Köşegen Formülleri

  • Bir n kenarlı dışbükey (konveks) çokgenin toplam köşegen sayısı:
    \frac{n(n - 3)}{2}
  • Bir n kenarlı çokgenin bir köşesinden geçen köşegen sayısı:
    n - 3

2. Eşitlik Kurma

Soruya göre, toplam köşegen sayısı (soldaki ifade) bir köşeden çizilen köşegen sayısının 4 katına eşittir. Yani denklem şu şekilde olur:

\frac{n(n-3)}{2} = 4 \times (n - 3)

3. Denklemi Çözme

  1. Denklemdeki kesirden kurtulmak için her iki tarafı da 2 ile çarpalım:
    n(n - 3) = 8 (n - 3)
  2. n - 3 ifadesi sıfırdan farklı olacağı (n > 3) için, ifadeyi n - 3 ile sadeleştirirsek:
    n = 8

4. Sonuç

Bu koşulu sağlayan çokgenin kenar sayısı 8’dir. Yani sekizgen (oktagon) bu özelliği taşır.

@User

4

Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevap:

Aşağıdaki adımlarda soruyu ayrıntılı biçimde çözeceğiz. Verilen ifade şudur:
• Bir dış bükey çokgende, toplam köşegen sayısı (T), bir köşesinden çıkan köşegen sayısının (M) tam 4 katına eşittir.

Önce bazı temel tanımlara göz atalım:

İçindekiler

  7. Kaynaklar

1. Temel Tanımlar ve Formüller

Bir dış bükey n-gen (yani n kenarlı dış bükey çokgen) için:

  1. Köşegen (Diagonal): Bir çokgende, iki köşeyi birleştiren ve kenarlardan biri olmayan doğru parçalarına köşegen denir.
  2. Dış Bükey Çokgen (Convex Polygon): Tüm iç açılarının ölçüsü $180^\circ$’ten küçük olduğu çokgendir. Burada, kenar sayısı n \ge 3 olmalıdır.

Köşegenlerle İlgili Temel Formüller

  • Toplam köşegen sayısı:
T = \frac{n(n - 3)}{2}
  • Bir köşeden geçen köşegen sayısı:
M = n - 3

Neden M = n - 3? Bir köşeden o köşe hariç diğer tüm köşelere çizilebilecek çizgiler toplam n-1 tanedir. Ancak, bunlardan ikisini zaten bitişik kenarlar (o köşeye komşu olan kenarlar) oluşturduğundan, geriye köşegen olarak kabul edilebilecek n-3 çizgi kalır.

2. Köşegen Sayısı Formülleri

Bir dış bükey n-genin:

  1. Toplam köşegen sayısı – T:
T = \frac{n(n - 3)}{2}
  1. Bir köşesinden geçen köşegen sayısı – M:
M = n - 3

Soru metninde:

“Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?”

ifadesi doğrultusunda verilen denklem:

T = 4 \cdot M

Biçiminde yazabiliriz.

3. Adım Adım Çözüm

Adım 1: Temel Denklem Kurulumu

Yukarıda verdiğimiz formülleri kullanarak:

  1. Toplam köşegen sayısı, T = \frac{n(n - 3)}{2}
  2. Bir köşeden geçen köşegen sayısı, M = n - 3

Verilen problemde T = 4 \cdot M olduğundan:

\frac{n(n - 3)}{2} = 4 \cdot (n - 3)

Adım 2: Denklemi Çözme

Denklemi daha basit hale getirmek için her iki tarafı 2 ile çarparız:

n(n - 3) = 8 (n - 3)

Sol tarafı açalım:

n^2 - 3n = 8n - 24

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

n^2 - 3n - 8n + 24 = 0
n^2 - 11n + 24 = 0

Adım 3: Elde Edilen İkinci Derece Denklemi Çözme

Oluşan denklem:

n^2 - 11n + 24 = 0

Bu denklemi çarpanlara ayırmaya çalışalım:

  • 24’ü çarpanlarıyla düşünürsek (1,24), (2,12), (3,8), (4,6)…
  • Toplamları -11 edeceği şekilde negatif işaretlere dikkat ederek (n-8)(n-3) formu uygundur.

Dolayısıyla:

(n - 8)(n - 3) = 0

Adım 4: Denklemin Köklerini Bulma

Denklemin kökleri şunlardır:

  1. n = 8
  2. n = 3

n = 3 için durum:

  • Bir üçgenin (n=3) köşegen sayısı sıfırdır: T=0.
  • Bir köşeden geçen köşegen sayısı da sıfırdır: M=0.
  • Dolayısıyla T = 4 \cdot M eşitliği 0 = 4 \cdot 0 şeklinde sağlanır, ancak üçgende köşegen yoktur. Genelde bu tür sorularda “köşegeni olan” bir çokgen kastedilir. Minimum köşegen oluşabilmesi için n>3 olmalıdır.

n = 8 için durum:

  • n=8 olduğunu düşünelim (sekizgen). Bir dışbükey sekizgen vardır ve köşegenler anlamlı bir sayıdadır. Her köşeden geçen köşegen sayısı 8-3=5, toplam köşegen sayısı \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 olur.
  • Kontrol edelim: “Toplam 20 köşegen, bir köşesinden 5 köşegen geçmektedir, 20 = 4 \cdot 5” tam olarak sağlanır.

Dolayısıyla geçerli (işlevsel) çözüm n=8 olarak bulunur.

4. Örnek Hesaplamalar ve Denemeler

Bu bölümde, farklı n değerleri için T ve M değerlerine göz atalım:

n Toplam Köşegen (T = n(n-3)/2) Bir Köşeden Köşegen (M = n-3) T = 4M Denklemi Sağlar mı?
3 0 0 T = 0, 4M = 0 → Evet (ancak 3gen köşegeni yok)
4 2 1 2 = 4*1 → Hayır (2 = 4) Yanlış
5 5 2 5 = 4*2 → Hayır (5 = 8) Yanlış
6 9 3 9 = 4*3 → Hayır (9 = 12) Yanlış
7 14 4 14 = 4*4 → Hayır (14 = 16) Yanlış
8 20 5 20 = 4*5 → Evet (20 = 20) Doğru
9 27 6 27 = 4*6 → Hayır (27 = 24) Yanlış

Tablodan da görüleceği üzere n=8 değeriyle eşitlik sağlanmakta, n=3 de teknik olarak sağlansa da “köşegeni olan dış bükey çokgen” şartını gerçek manada karşılayan tek anlamlı değer $n=8$’dir.

5. Genel Sonuç ve Kısa Özet

• Problem: Köşegen sayısı (T), bir köşeden geçen köşegen sayısının (M) 4 katına eşitse, dış bükey çokgenin kaç kenarı vardır?
• Çözüm: T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 formüllerini kullanıp T=4M denklemini çözdük.
• Çıkan Denklemler: n(n-3)/2 = 4(n-3) \implies n^2 - 11n + 24=0 \implies n=3 \text{ veya } n=8.
• Yorum: Üçgende köşegen olmadığı (köşegen sayısı sıfır) için asıl geçerli çözüm, sekizgen (n=8) olarak alınır.

Dolayısıyla aradığımız dışbükey çokgenin kenar sayısı 8’dir.

6. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda denklem çözüm adımlarını ve elde edilen değerleri özetlemekteyiz:

Adım İşlem Sonuç
1. Formüllerin Belirlenmesi T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 Bu formüllerle T=4M denklemi kurulacak
2. Denklem Kurulumu \frac{n(n - 3)}{2} = 4(n - 3) Eşitliği elde ediyoruz
3. Her İki Tarafı 2 ile Çarpma n(n - 3) = 8(n - 3)
4. Genişletme ve Düzenleme n^2 - 3n = 8n -24 \implies n^2 - 11n + 24 = 0 İkinci dereceden denklem
5. Köklerin Bulunması (n - 8)(n -3) = 0 n=8 veya n=3
6. Mantıksal Seçim n=3 üçgende köşegen yok. Uygun çokgen için n=8 Sekizgen cevabı
7. Sonuç Kenar sayısı = 8 Cevap: 8

7. Kaynaklar

  • Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları)
  • Temel Geometri Kavramları ve Problemler, Açıköğretim Kaynakları
  • OpenStax Geometry (İngilizce Kaynak)

Sonuç ve Özet

Bu tür bir soruda, dış bükey n-genin köşegen sayısı formülü (T = n(n -3)/2) ve tek bir köşeden çıkan köşegen sayısı formülü (M = n-3) yardımıyla T=4M koşulu sağlanarak ikinci dereceden denklem çözülür. Elde edilen n=8 değeri, söz konusu çokgenin sekizgen olduğunu gösterir.

@Meryem_Memisoglu