Yfnsa

LİSE 10.sınıf
,
1

1000006230
1000006230595×356 19 KB

2

Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevap:

Tanımlar ve Formüller

  • n: Çokgenin kenar (ve köşe) sayısı
  • Bir çokgenin toplam köşegen sayısı:
    D = \frac{n(n-3)}{2}
  • Bir köşeden çıkan köşegen sayısı:
    d = n - 3

Sorunun Verisi

Toplam köşegen sayısı, bir köşeden çıkan köşegen sayısının 4 katına eşit.

  • Yani:
    D = 4d

Formülleri yerine koyarsak:

\frac{n(n-3)}{2} = 4(n-3)

Denklemin Çözümü

Her iki tarafı da 2 ile çarpalım:

n(n - 3) = 8(n - 3)

Sadeleşen terimi oluşturalım:

  • n - 3 ortak terim, farklı bir değer olmalı (n > 3 olmalı ki çokgen oluşsun, ve n\neq3):
n(n - 3) - 8(n - 3) = 0
(n - 3)[n - 8] = 0

Buradan iki seçenek çıkar:

1. n-3=0 \implies n=3 (Ama üçgenin köşegeni yok)

2. n-8=0 \implies n=8

Sonuç ve Kontrol

n=8 çözümümüzdür. 8 kenarlı dış bükey çokgen yani sekizgen.

Kontrol edelim:

  • Bir sekizgende köşegen sayısı:
    D = \frac{8 \times 5}{2} = 20
  • Bir köşeden çıkan köşegen sayısı:
    d = 8-3 = 5
  • 4 katı: 4 \times 5 = 20

Uygun geliyor, doğru!

CEVAP:

Dış bükey çokgenin kenar sayısı \boldsymbol{8}'dir (sekizgen).

@User

3

Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Answer:

1. Köşegen Formülleri

  • Bir n kenarlı dışbükey (konveks) çokgenin toplam köşegen sayısı:
    \frac{n(n - 3)}{2}
  • Bir n kenarlı çokgenin bir köşesinden geçen köşegen sayısı:
    n - 3

2. Eşitlik Kurma

Soruya göre, toplam köşegen sayısı (soldaki ifade) bir köşeden çizilen köşegen sayısının 4 katına eşittir. Yani denklem şu şekilde olur:

\frac{n(n-3)}{2} = 4 \times (n - 3)

3. Denklemi Çözme

  1. Denklemdeki kesirden kurtulmak için her iki tarafı da 2 ile çarpalım:
    n(n - 3) = 8 (n - 3)
  2. n - 3 ifadesi sıfırdan farklı olacağı (n > 3) için, ifadeyi n - 3 ile sadeleştirirsek:
    n = 8

4. Sonuç

Bu koşulu sağlayan çokgenin kenar sayısı 8’dir. Yani sekizgen (oktagon) bu özelliği taşır.

@User

4

Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevap:

Aşağıdaki adımlarda soruyu ayrıntılı biçimde çözeceğiz. Verilen ifade şudur:
• Bir dış bükey çokgende, toplam köşegen sayısı (T), bir köşesinden çıkan köşegen sayısının (M) tam 4 katına eşittir.

Önce bazı temel tanımlara göz atalım:

İçindekiler

  1. Temel Tanımlar ve Formüller
  2. Köşegen Sayısı Formülleri
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Örnek Hesaplamalar ve Denemeler
  5. Genel Sonuç ve Kısa Özet
  6. Özet Tablo
  7. Kaynaklar

1. Temel Tanımlar ve Formüller

Bir dış bükey n-gen (yani n kenarlı dış bükey çokgen) için:

  1. Köşegen (Diagonal): Bir çokgende, iki köşeyi birleştiren ve kenarlardan biri olmayan doğru parçalarına köşegen denir.
  2. Dış Bükey Çokgen (Convex Polygon): Tüm iç açılarının ölçüsü $180^\circ$’ten küçük olduğu çokgendir. Burada, kenar sayısı n \ge 3 olmalıdır.

Köşegenlerle İlgili Temel Formüller

  • Toplam köşegen sayısı:
    T = \frac{n(n - 3)}{2}
  • Bir köşeden geçen köşegen sayısı:
    M = n - 3

Neden M = n - 3? Bir köşeden o köşe hariç diğer tüm köşelere çizilebilecek çizgiler toplam n-1 tanedir. Ancak, bunlardan ikisini zaten bitişik kenarlar (o köşeye komşu olan kenarlar) oluşturduğundan, geriye köşegen olarak kabul edilebilecek n-3 çizgi kalır.

2. Köşegen Sayısı Formülleri

Bir dış bükey n-genin:

  1. Toplam köşegen sayısı – T:

    T = \frac{n(n - 3)}{2}

  2. Bir köşesinden geçen köşegen sayısı – M:

    M = n - 3

Soru metninde:

“Köşegen sayısı bir köşesinden geçen köşegen sayısının 4 katına eşit olan dış bükey çokgenin kenar sayısı kaçtır?”

ifadesi doğrultusunda verilen denklem:

T = 4 \cdot M

Biçiminde yazabiliriz.

3. Adım Adım Çözüm

Adım 1: Temel Denklem Kurulumu

Yukarıda verdiğimiz formülleri kullanarak:

  1. Toplam köşegen sayısı, T = \frac{n(n - 3)}{2}
  2. Bir köşeden geçen köşegen sayısı, M = n - 3

Verilen problemde T = 4 \cdot M olduğundan:

\frac{n(n - 3)}{2} = 4 \cdot (n - 3)

Adım 2: Denklemi Çözme

Denklemi daha basit hale getirmek için her iki tarafı 2 ile çarparız:

n(n - 3) = 8 (n - 3)

Sol tarafı açalım:

n^2 - 3n = 8n - 24

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

n^2 - 3n - 8n + 24 = 0
n^2 - 11n + 24 = 0

Adım 3: Elde Edilen İkinci Derece Denklemi Çözme

Oluşan denklem:

n^2 - 11n + 24 = 0

Bu denklemi çarpanlara ayırmaya çalışalım:

  • 24’ü çarpanlarıyla düşünürsek (1,24), (2,12), (3,8), (4,6)…
  • Toplamları -11 edeceği şekilde negatif işaretlere dikkat ederek (n-8)(n-3) formu uygundur.

Dolayısıyla:

(n - 8)(n - 3) = 0

Adım 4: Denklemin Köklerini Bulma

Denklemin kökleri şunlardır:

  1. n = 8
  2. n = 3

n = 3 için durum:

  • Bir üçgenin (n=3) köşegen sayısı sıfırdır: T=0.
  • Bir köşeden geçen köşegen sayısı da sıfırdır: M=0.
  • Dolayısıyla T = 4 \cdot M eşitliği 0 = 4 \cdot 0 şeklinde sağlanır, ancak üçgende köşegen yoktur. Genelde bu tür sorularda “köşegeni olan” bir çokgen kastedilir. Minimum köşegen oluşabilmesi için n>3 olmalıdır.

n = 8 için durum:

  • n=8 olduğunu düşünelim (sekizgen). Bir dışbükey sekizgen vardır ve köşegenler anlamlı bir sayıdadır. Her köşeden geçen köşegen sayısı 8-3=5, toplam köşegen sayısı \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 olur.
  • Kontrol edelim: “Toplam 20 köşegen, bir köşesinden 5 köşegen geçmektedir, 20 = 4 \cdot 5” tam olarak sağlanır.

Dolayısıyla geçerli (işlevsel) çözüm n=8 olarak bulunur.

4. Örnek Hesaplamalar ve Denemeler

Bu bölümde, farklı n değerleri için T ve M değerlerine göz atalım:

n Toplam Köşegen (T = n(n-3)/2) Bir Köşeden Köşegen (M = n-3) T = 4M Denklemi Sağlar mı?
3 0 0 T = 0, 4M = 0 → Evet (ancak 3gen köşegeni yok)
4 2 1 2 = 4*1 → Hayır (2 = 4) Yanlış
5 5 2 5 = 4*2 → Hayır (5 = 8) Yanlış
6 9 3 9 = 4*3 → Hayır (9 = 12) Yanlış
7 14 4 14 = 4*4 → Hayır (14 = 16) Yanlış
8 20 5 20 = 4*5 → Evet (20 = 20) Doğru
9 27 6 27 = 4*6 → Hayır (27 = 24) Yanlış

Tablodan da görüleceği üzere n=8 değeriyle eşitlik sağlanmakta, n=3 de teknik olarak sağlansa da “köşegeni olan dış bükey çokgen” şartını gerçek manada karşılayan tek anlamlı değer $n=8$’dir.

5. Genel Sonuç ve Kısa Özet

• Problem: Köşegen sayısı (T), bir köşeden geçen köşegen sayısının (M) 4 katına eşitse, dış bükey çokgenin kaç kenarı vardır?
• Çözüm: T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 formüllerini kullanıp T=4M denklemini çözdük.
• Çıkan Denklemler: n(n-3)/2 = 4(n-3) \implies n^2 - 11n + 24=0 \implies n=3 \text{ veya } n=8.
• Yorum: Üçgende köşegen olmadığı (köşegen sayısı sıfır) için asıl geçerli çözüm, sekizgen (n=8) olarak alınır.

Dolayısıyla aradığımız dışbükey çokgenin kenar sayısı 8’dir.

6. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda denklem çözüm adımlarını ve elde edilen değerleri özetlemekteyiz:

Adım İşlem Sonuç
1. Formüllerin Belirlenmesi T = \frac{n(n-3)}{2} ve M = n-3 Bu formüllerle T=4M denklemi kurulacak
2. Denklem Kurulumu \frac{n(n - 3)}{2} = 4(n - 3) Eşitliği elde ediyoruz
3. Her İki Tarafı 2 ile Çarpma n(n - 3) = 8(n - 3)
4. Genişletme ve Düzenleme n^2 - 3n = 8n -24 \implies n^2 - 11n + 24 = 0 İkinci dereceden denklem
5. Köklerin Bulunması (n - 8)(n -3) = 0 n=8 veya n=3
6. Mantıksal Seçim n=3 üçgende köşegen yok. Uygun çokgen için n=8 Sekizgen cevabı
7. Sonuç Kenar sayısı = 8 Cevap: 8

7. Kaynaklar

  • Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları)
  • Temel Geometri Kavramları ve Problemler, Açıköğretim Kaynakları
  • OpenStax Geometry (İngilizce Kaynak)

Sonuç ve Özet

Bu tür bir soruda, dış bükey n-genin köşegen sayısı formülü (T = n(n -3)/2) ve tek bir köşeden çıkan köşegen sayısı formülü (M = n-3) yardımıyla T=4M koşulu sağlanarak ikinci dereceden denklem çözülür. Elde edilen n=8 değeri, söz konusu çokgenin sekizgen olduğunu gösterir.

@Meryem_Memisoglu