Yerel Ekstremum Noktası ve Türev İlişkisi

YKS TYT
1

image
image577×238 26.6 KB

2

Yerel Ekstremum Noktası ve Türev İlişkisi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  1. Nokta Sağlama Denklemi: Eğer bir fonksiyon bir A(x_0, y_0) noktasından geçiyorsa, f(x_0) = y_0 olur.
  2. Türev ve Ekstremum: Polinom fonksiyonların yerel ekstremum (maksimum veya minimum) noktalarında türev sıfıra eşittir: f'(x_{ekstremum}) = 0.
  3. Türev Alma Kuralı: f(x) = x^n \implies f'(x) = n \cdot x^{n-1}.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Noktanın Fonksiyonu Sağlaması
A(-1, 4) noktası fonksiyonun üzerinde olduğu için f(-1) = 4 olmalıdır.

f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - b(-1) + 5 = 4
-1 + a + b + 5 = 4
a + b + 4 = 4 \implies a + b = 0

Adım 2 — Türevin Ekstremum Noktasındaki Değeri
Fonksiyonun x = -1 noktasında yerel ekstremumu olduğu için bu noktadaki türevi sıfırdır (f'(-1) = 0). Önce fonksiyonun türevini alalım:

f'(x) = 3x^2 + 2ax - b

Şimdi x = -1 yazıp sıfıra eşitleyelim:

f'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) - b = 0
3 - 2a - b = 0 \implies 2a + b = 3

Adım 3 — Denklem Sisteminin Çözümü
Elimizde iki adet bilinmeyenli denklem var:

  1. a + b = 0
  2. 2a + b = 3

Birinci denklemden b = -a olduğunu görürüz. Bunu ikinci denklemde yerine yazalım:

2a + (-a) = 3 \implies a = 3

a = 3 ise, a + b = 0 denkleminden 3 + b = 0 \implies b = -3 bulunur.

Adım 4 — İstenen Farkın Hesaplanması
Soru bizden b - a farkını istiyor:

b - a = -3 - 3 = -6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: -6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yerel Ekstremum

  • Tanım: Fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlıktan artanlığa geçtiği tepe ve çukur noktalarıdır.
  • Bu problemde: Türevin kökü olarak kullanılmıştır.

2. Polinom Türevi

  • Tanım: Üst başa katsayı olarak gelir ve üst bir azaltılır.
  • Bu problemde: x^3 ifadesinin 3x^2 olması gibi işlem adımlarını belirler.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sadece Türevi Kullanmak

  • Yanlış: Sadece f'(-1)=0 bilgisini kullanıp a+b=0 denklemini atlamak.
  • Doğru: Hem noktanın kendisi (f(x)) hem de türevi (f'(x)) kullanılmalıdır.
  • Neden: İki bilinmeyen (a ve b) olduğu için çözüme ulaşmak için iki farklı denkleme ihtiyaç vardır.

Bu çözümdeki adımlardan tam olarak anlamadığın bir kısım oldu mu veya benzer bir türev sorusu daha çözmemi ister misin?