Yere dik bir şekilde konumlanan bir direk, uzunluğunu 2 ve 3 ile doğru orantılı olacak şekilde ikiye ayıran K noktasından kırılıyor.
Kırılma sonucu, direğin ucunun yere değdiği nokta başlangıçta dikildiği noktaya 10 br uzaklıktadır.
Buna göre, başlangıçta direğin uzunluğu kaç br’dir?
A) 5\sqrt{3}
B) 5\sqrt{5}
C) 10
D) 10\sqrt{3}
E) 10\sqrt{5}
Pisagor Teoremi ile Kırılan Direk Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir (Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2). Bir doğru parçası verilen sayılarla doğru orantılı bölündüğünde parçalar katsayı ile (k) ifade edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Parçaların Oranlanması ve Modellenmesi
Direk, uzunluğu 2 ve 3 ile doğru orantılı olacak şekilde K noktasından kırılmıştır. Şekilde görüldüğü üzere yerde dik kalan alt parça daha kısa, devrilen üst parça ise hipotenüsü oluşturacak şekilde daha uzundur.
- Yerde dik kalan kısım: 2k
- Kırılıp hipotenüsü oluşturan kısım: 3k
- Direğin toplam boyu: 2k + 3k = 5k
Adım 2 — Pisagor Teoremi ile k Değerinin Hesaplanması
Oluşan dik üçgende dikey kenar 2k, yatay kenar 10 birim ve hipotenüs 3k birimdir:
(2k)^2 + 10^2 = (3k)^2
4k^2 + 100 = 9k^2 \implies 5k^2 = 100 \implies k^2 = 20 \implies k = 2\sqrt{5} \text{ br}
Adım 3 — Başlangıçtaki Toplam Uzunluğun Bulunması
Direğin başlangıçtaki toplam uzunluğu 5k olduğuna göre:
\text{Toplam Uzunluk} = 5 \cdot (2\sqrt{5}) = 10\sqrt{5} \text{ br}
CEVAP: E) 10\sqrt{5} (Başlangıçtaki direk uzunluğu = 10\sqrt{5}\text{ br})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kırılan parçanın yere değerek oluşturduğu dik üçgende hipotenüs daima devrilen parçaya eşittir. Orantıyı kurarken dik kenarın hipotenüsten küçük olması gerektiği unutulmamalıdır (2k < 3k).