Yerden yüksekliği 190 cm olan A ve B noktalarından duvara sabitlenmek istenen dikdörtgen biçimindeki tablo sadece A köşesindeki çivi sabit kalınca aşağıda gösterilen konumdayken tablo tam dönmeden tutuluyor.
Tablonun ağırlık merkezinin son durumda yerden yüksekliği 125 cm’dir.
Buna göre C' noktasının zemine uzaklığı (x) kaç cm’dir?
A) 85
B) 78
C) 75
D) 70
E) 60
Dikdörtgen Tablonun Ağırlık Merkezi ve Koordinat İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir doğru parçasının orta noktasının ordinatı (yüksekliği), uç noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir:
y_{\text{orta}} = \frac{y_1 + y_2}{2}
Bir dikdörtgenin ağırlık merkezi (G), köşegenlerin kesim noktasıdır ve karşıt köşeleri birleştiren köşegenin tam orta noktasıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sabit Noktanın Yüksekliğini Belirleme
Tablo duvara asıldığında A ve B noktalarının yerden yüksekliği 190\text{ cm} olarak verilmiştir. Tablo yalnızca A köşesindeki çivi etrafında döndüğü için A noktasının konumu ve yerden yüksekliği değişmez:
y_A = 190\text{ cm}
Adım 2 — Ağırlık Merkezi ile Karşı Köşe Arasındaki Geometrik Bağıntıyı Kurma
ABCD bir dikdörtgen olduğundan, tablonun ağırlık merkezi (G'), A köşesi ile karşı köşesi olan C' noktasını birleştiren [AC'] köşegeninin tam orta noktasıdır:
y_{G'} = \frac{y_A + y_{C'}}{2}
Adım 3 — C' Noktasının Yerden Yüksekliğini (x) Hesaplama
Son durumda ağırlık merkezinin yerden yüksekliği y_{G'} = 125\text{ cm} ve C' noktasının yerden yüksekliği y_{C'} = x olarak verilmiştir. Bu değerleri denklemde yerine yazalım:
125 = \frac{190 + x}{2}
125 \cdot 2 = 190 + x
250 = 190 + x
x = 250 - 190 = 60\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı — 60\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Dikdörtgende Ağırlık Merkezi: Dikdörtgenin simetri merkezi olup köşegenlerin kesiştiği yerdir. Karşılıklı iki köşenin (A ve C) tam orta noktasıdır.
- Orta Nokta Koordinatı: Düşey eksendeki yükseklikler analitik düzlemdeki y koordinatları gibi düşünüldüğünde, orta noktanın yüksekliği uç noktaların yüksekliklerinin ortalamasıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Tablonun kenar uzunluklarını veya dönme açısını bulmaya çalışarak trigonometrik denklemlerle vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: Köşegen orta noktası kuralını kullanarak doğrudan düşey yükseklikler üzerinden aritmetik ortalama almak.
Benzer bir analitik geometri veya ağırlık merkezi sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai bişey dicem ya artı yc bölü iki nerden geldi
Orta Taban ve Orta Nokta Kuralının Mantığı
Bu formülün nereden geldiğini geometri dersindeki en temel iki yöntemle çok net görebiliriz:
1. Yol: Geometrik İspat (Yamukta Orta Taban Kuralı)
Gözümüzde canlandırmak için noktalardan yere dikmeler çizelim:
-
Ağırlık Merkezi Özelliği:
Dikdörtgende köşegenler birbirini tam ortadan ikiye böler. Dolayısıyla ağırlık merkezi (G), [AC'] köşegeninin tam orta noktasıdır (|AG| = |GC'|). -
Yere Dikmeler İndirelim:
- A noktasından zemine dik inelim: Yüksekliği y_A = 190\text{ cm} olsun.
- C' noktasından zemine dik inelim: Yüksekliği y_{C'} = x olsun.
- G noktasından zemine dik inelim: Yüksekliği y_G = 125\text{ cm} olsun.
-
Yamuğun Oluşumu:
Her üç çizgi de zemine dik indiği için birbirine paraleldir.
Burada tabanları y_A ve y_{C'} olan bir dik yamuk oluşur. -
Orta Taban Bağıntısı:
G noktası [AC'] doğru parçasının tam ortasında olduğu için, G’den zemine inen dikme bu yamuğun orta tabanı olur.
Geometride yamuğun orta taban uzunluğu, alt taban ile üst tabanın toplamının yarısına eşittir:\text{Orta Taban} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2}y_G = \frac{y_A + y_{C'}}{2}
2. Yol: Analitik Geometri Mantığı
Zemini bir koordinat sisteminin x ekseni (y = 0 doğrusu) olarak düşünelim:
- Bir noktanın zemine olan uzaklığı, o noktanın ordinatıdır (y değeridir).
- A noktasının koordinatları: (x_A, y_A)
- C' noktasının koordinatları: (x_C, y_C)
- Bu iki noktanın orta noktası olan G’nin koordinatları analitik kuralı gereği bileşenlerin aritmetik ortalamasıdır:G = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \; \frac{y_A + y_C}{2}\right)
Düşey mesafe (zemine uzaklık) yalnızca y ekseniyle ilgili olduğundan:
y_G = \frac{y_A + y_{C'}}{2}
Buradan da:
125 = \frac{190 + x}{2} \implies 250 = 190 + x \implies x = 60\text{ cm}
elde edilir.
Yamukta orta taban mantığı kafana tam oturdu mu, yoksa şekil üzerinde adım adım çizerek tekrar bakalım mı?