Yerde Duran Ağacın Gölgesinin Uzunluğu ve Açısını Bulma Problemi

YKS TYT
1

176997409760838780141530412543
176997409760838780141530412543720×960 41.1 KB

2

Yerde Duran Ağacın Gölgesinin Uzunluğu ve Açısını Bulma Problemi

Önemli Noktalar

  • Ağacın gölgesinin uzunluğu 15 birim.
  • Ağacın tepesi ile gölgenin ucu arasındaki mesafe 17 birim.
  • Ağacın tepe ile gölge ucu arasındaki doğrudan mesafe, ağacın boyu ve gölge uzunluğu arasında dik üçgen oluşturur.
  • Verilen bilgilerle, ağacın yüksekliği ve gölge açısının tanjantı hesaplanabilir.

Yere dik duran bir ağacın gölgesinin uzunluğu ve ağacın tepesi ile gölge ucu arasındaki mesafe bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende, hipotenüs 17 birim, gölge uzunluğu 15 birim ise, ağacın yüksekliği ve gölge açısının tanjant değeri Pisagor teoremi ve trigonometrik oranlarla hesaplanabilir.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi ve Temel İlişkiler
  2. Ağacın Yüksekliğinin Hesaplanması
  3. Gölge Açısının Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi ve Temel İlişkiler

Bir ağaç yere dik durduğunda, ağacın yüksekliği (h), gölgenin uzunluğu (15 birim), ve gölgenin ucu ile ağacın tepesi arasındaki mesafe (17 birim) arasında dik üçgen oluşur.

  • Hipotenüs (ağaç tepesi ile gölge ucu arası): 17 birim
  • Gölge uzunluğu (taban): 15 birim
  • Yükseklik (dik kenar): h birim

Pisagor teoremi uygulanır:

h^2 + 15^2 = 17^2

:light_bulb: Pro Tip: Hipotenüs > Komşu > Karşı kenar sıralamasıyla üçgen ilişkilendirilir.

Ağacın Yüksekliğinin Hesaplanması

Pisagor teoremi:

h^2 + 15^2 = 17^2
h^2 + 225 = 289
h^2 = 289 - 225 = 64
h = \sqrt{64} = 8

Ağacın yüksekliği 8 birimdir.

Gölge Açısının Hesaplanması

Gölgede oluşan açıyı bulmak için aşağıdaki trigonometrik oranlar kullanılır:

  • Tanjant:
\tan \theta = \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \frac{8}{15}
  • Gölge açısının tanjantı:
\tan \theta = \frac{ağacın\ yüksekliği}{gölgenin\ uzunluğu} = \frac{8}{15}

Özet Tablo

Eleman Değer
Gölge uzunluğu 15 birim
Gölgenin ucu ile ağaç tepesi arası (hipotenüs) 17 birim
Ağacın yüksekliği (dik kenar) 8 birim
Gölgede oluşan açının tanjantı 8/15

Sık Sorulan Sorular

1. Pisagor teoremi nasıl bu probleme uygulanır?
Ağaç, gölge ve aralarındaki mesafe bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoremi ile hipotenüs, dik ve taban kenarlarından biri bilinmediğinde hesaplanır.

2. Tanjant nedir ve neden kullanıldı?
Tanjant, bir dik üçgende karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Bu orandan gölge açısı hesaplanabilir.

3. Ağacın uzunluğu neden hipotenüs değil?
Ağaç yere diktir, dik kenardır. Hipotenüs, ağaç tepesi ile gölge ucu arasındaki mesafedir.

Sonraki Adımlar

Gölge hesaplama problemlerinde trigonometrik oranlar ve Pisagor uygulamasını daha derinlemesine görmek ister misiniz? Yoksa benzer problemler için pratik çözümler içeren test soruları hazırlayayım mı?

@Stearleo_man

3

Ağacın gölgesi ve kotanjant değeri sorusu

• Dikey duran ağacın gölgesinin uzunluğu 15 birim
• Ağacın tepesi ile gölge ucu arasındaki mesafe (hipotenüs) 17 birim
• Üçgenin yüksekliği Pythagoras ile 8 birim bulunur
• Açı ile zemine yapılan açının kotanjantı
\displaystyle \cot \alpha = \frac{\text{komşu}}{\text{karşı}} = \frac{15}{8}

Cotanjant, bir açının komşu kenarının karşı kenara oranıdır. Bu soruda ölçülen açı, gölge ucu ile zeminin oluşturduğu açıdır. Dolayısıyla

\cot \alpha = \frac{15}{8}.

İçindekiler

  1. Ana Cevap
  2. Çözüm Adımları
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Ana Cevap

Açı ile zemine yapılan açının kotanjant değeri

\boxed{\cot \alpha = \frac{15}{8}}

Çözüm Adımları

  1. Üçgeni belirleyelim:
    • Temel kenar (gölge) BC = 15
    • Hipotenüs AB = 17
    • Yükseklik (ağacın boyu) AC = ?
  2. Pythagoras teoremi:
    AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8.
  3. İstenen açı: \angle ABC, gölge ucu ile zemin arasındaki açıdır.
  4. Kotanjant tanımı:
    \cot \alpha = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}} = \frac{BC}{AC} = \frac{15}{8}.

Özet Tablosu

Kenar Uzunluk (birim)
Gölge (BC) 15
Hipotenüs (AB) 17
Yükseklik (AC) 8
\cot \alpha \tfrac{15}{8}

SSS

  1. Kotanjant nedir?
    • Bir açının komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranıdır.
  2. Neden Pythagoras kullanıldı?
    • Dik üçgende hipotenüs ve bir dik kenar bilindiğinde diğer dik kenarı bulmak için.
  3. Hangi açı ölçülüyor?
    • Üçgenin gölge ucu köşesindeki açı, zemine çizilen doğru ile üçgenin hipotenüsü arasındaki açı.
  4. Gölge uzunluğu farklı olsaydı ne değişirdi?
    • AC yüksekliği yeniden hesaplanır ve kotanjant oranı farklı bir değer olurdu.

Benzer bir gölge problemi üzerinde çalışmak ister misiniz? @Stearleo_man