Dj 4v2
E) 6
Yeni kurulan dikdörtgen şeklindeki bir güneş
nanelinin kısa kenarı 2° desimetre, uZun kenar ise o5
desimetredir. Sistem tasarimı gereği. kampüste budnan
nanellerin her bir kenar uzunluğu her yil bir önceki yinr2
katıina çıkarlarak sistem büyütülmektedir.
Buna göre, bu planlama doğrultusunda büyütülen
sistemin 4yin sonundaki.toplam yüzey alanı kaç
desimetrekaredir?
A)2 B) 211
C) 212
D) 214
E)24
Güneş Panelinin 4. Yıl Sonundaki Toplam Yüzey Alanının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = a \times b (a: kısa kenar, b: uzun kenar)
- Üslü Sayılarda Çarpma Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır:a^x \times a^y = a^{x+y}
- n Yıl Sonraki Kenar Uzunluğu: Her yıl 2 katına çıkan bir kenarın n yıl sonraki boyutu:\text{Yeni Kenar} = \text{Başlangıç Kenarı} \times 2^n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıçtaki Kenar Uzunluklarını Belirleme
- Başlangıçtaki kısa kenar: a_0 = 2^3\text{ dm}
- Başlangıçtaki uzun kenar: b_0 = 2^5\text{ dm}
Adım 2 — 4. Yılın Sonundaki Kenar Uzunluklarını Bulma
Her kenar uzunluğu her yıl 2 katına çıktığından, 4 yılın sonunda kenarlar 2^4 katına çıkacaktır:
- 4. yıl sonundaki kısa kenar (a_4):a_4 = 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\text{ dm}
- 4. yıl sonundaki uzun kenar (b_4):b_4 = 2^5 \times 2^4 = 2^{5+4} = 2^9\text{ dm}
Adım 3 — 4. Yıl Sonundaki Toplam Alanı Hesaplama
Dikdörtgenin alanı iki kenarın çarpımı ile bulunur:
\text{Alan} = a_4 \times b_4
\text{Alan} = 2^7 \times 2^9
\text{Alan} = 2^{7+9} = 2^{16}\text{ dm}^2
(Alternatif olarak: Başlangıç alanı A_0 = 2^3 \times 2^5 = 2^8\text{ dm}^2’dir. Her iki kenar da 4 yılda 2^4 katına çıktığı için alan (2^4 \times 2^4) = 2^8 kat artar. Böylece A_4 = 2^8 \times 2^8 = 2^{16}\text{ dm}^2 bulunur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 2^{16}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslü İfadelerde Çarpma İşlemi
- Tanım: Aynı tabana sahip üslü ifadeler çarpılırken taban aynen yazılır, üsler toplanır (x^a \cdot x^b = x^{a+b}).
- Bu problemde: Kenar uzunlukları ve alan çarpımları yapılırken (2^3 \cdot 2^4 = 2^7 ve 2^7 \cdot 2^9 = 2^{16}) kural uygulanmıştır.
2. Benzerlik ve Alan İlişkisi
- Tanım: İki boyutlu bir cismin kenarları k katına çıktığında, alanı k^2 katına çıkar.
- Bu problemde: 4 yılda kenarlar 2^4 katına çıktığı için alan (2^4)^2 = 2^8 kat artmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yalnızca Bir Kenarı Büyütmek ya da Alanı 2^4 ile Çarpmak
- Yanlış: Başlangıç alanını doğrudan 2^4 ile çarparak 2^8 \times 2^4 = 2^{12} bulmak.
- Doğru: Her iki kenar da ayrı ayrı 2^4 katına çıktığı için alan 2^4 \times 2^4 = 2^8 katına çıkar.
- Neden Yanlış: Dikdörtgenin iki boyutu vardır; her iki boyut da büyütüldüğünde alan kenar artış oranının karesi kadar genişler.
Üslü sayılar ve geometri alan ilişkileriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?