Yeni açılan bir kahve satış mağazasının ilk üç haftadaki kahve satışları incelenmiştir. Mağazanın açıldığı ilk iki hafta boyunca her gün en az 2 kilogram en fazla 5 kilogram kahve satılmıştır. Üçüncü hafta her gün en az A kilogram en fazla 12 kilogram kahve satılmıştır.
Mağazada bu üç hafta boyunca satılan toplam kahve miktarı x kilogram olmak üzere, x’in alabileceği tüm değerleri ifade eden eşitsizlik
|x - B| \leq 42
olarak verilmiştir.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 18
B) 18,5
C) 63
D) 93,5
E) 118
Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Aralık Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir niceliğin minimum değeri x_{\min} ve maksimum değeri x_{\max} olmak üzere, x’in değişim aralığı mutlak değerli eşitsizlik formunda |x - \text{orta nokta}| \leq \text{yarı aralık} olarak yazılır. Yani; B = \dfrac{x_{\max} + x_{\min}}{2} ve |x - B| \leq \dfrac{x_{\max} - x_{\min}}{2} bağıntısı kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Satış Yapılan Gün Sayılarını ve Toplam Miktarları Belirleme
İlk iki hafta 2 \times 7 = 14 gün, üçüncü hafta ise 7 gündür. Verilen günlük sınırlar üzerinden toplam kahve miktarı x’in alabileceği en küçük ve en büyük değerleri yazalım:
- Maksimum Satış (x_{\max}): İlk 14 gün boyunca günde en çok 5 kg, son 7 gün boyunca günde en çok 12 kg satılmıştır.
x_{\max} = (14 \times 5) + (7 \times 12) = 70 + 84 = 154\text{ kg}
- Minimum Satış (x_{\min}): İlk 14 gün boyunca günde en az 2 kg, son 7 gün boyunca günde en az A kg satılmıştır.
x_{\min} = (14 \times 2) + (7 \times A) = 28 + 7A\text{ kg}
Adım 2 — Mutlak Değerli Eşitsizliği Çözme ve B Değerini Bulma
|x - B| \leq 42 eşitsizliğini mutlak değer tanımı gereği açtığımızda:
-42 \leq x - B \leq 42 \implies B - 42 \leq x \leq B + 42
Buradan üst sınır x_{\max} = B + 42 olur:
B + 42 = 154 \implies B = 112
Adım 3 — A Değerini ve A + B Toplamını Hesaplama
Alt sınır ise x_{\min} = B - 42 olmalıdır:
x_{\min} = 112 - 42 = 70
Bulduğumuz bu değeri 1. adımdaki minimum satış denklemine eşitleyelim:
28 + 7A = 70 \implies 7A = 42 \implies A = 6
İstenen A + B toplamı:
A + B = 6 + 112 = 118
CEVAP: E) 118 (A = 6, B = 112)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: |x - B| \leq k kalıbındaki sorularda k değeri aralığın genişliğinin yarısıdır (\frac{\text{üst sınır} - \text{alt sınır}}{2}). Buradan aralık farkının 2 \times 42 = 84 olduğunu doğrudan görüp alt sınırı 154 - 84 = 70 olarak saniyeler içinde bulabilirsiniz.