YAZILIYA HAZIRLANIYORUM (2. DÖNEM- 1. YAZILI) 6. Aşağıda verilen ABC üçgeninde IBCI 9 birimdir. B 9 De[BC], IBDI = 4 birim ve m(ACB) = m(BAD) olacak şekilde üçgenin A köşesinden [AD] çiziliyor. Yukarıda verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevap

Maths Question
1

YAZILIYA HAZIRLANIYORUM (2. DÖNEM- 1. YAZILI) 6. Aşağıda verilen ABC üçgeninde IBCI 9 birimdir. B 9 De[BC], IBDI = 4 birim ve m(ACB) = m(BAD) olacak şekilde üçgenin A köşesinden [AD] çiziliyor. Yukarıda verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayıniz. b) lABI kaç birimdir? a) Hangi üçgenlerin benzer olduğunu nedenleri ile yazınız.

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU: ABC üçgeninde verilen bilgilere göre
a) Hangi üçgenler benzerdir?
b) |AB| kaç birimdir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Benzerlik Kuralı (Açı-Açı - AA): İki üçgenin iki açısı eşit ise üçgenler benzerdir.
  • Üçgenlerde açıların toplamı 180°’dir.
  • Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenler ve şeklin analizi

  • |BC| = 9 birim
  • D noktası [BC] üzerinde ve |BD| = 4 birim
  • m(∠ACB) = m(∠BAD)
  • [AD] çizilmiş

Adım 2 — Benzer üçgenleri belirleme
m(∠ACB) = m(∠BAD) verilmiş. Ayrıca, ∠A ortak açıdır (üçgen ABD ve üçgen ACB’de).
Yani, iki üçgenin iki açısı eşittir:

  • ∠A (ortak)
  • m(∠ACB) = m(∠BAD) (verilen)

Bu yüzden;
ΔABD ∼ ΔACB (AA benzerlik kuralı ile)

Adım 3 — Uzunlukları hesaplamak için oran kurma
Benzerlik oranı;

\frac{|AB|}{|AB|} = \frac{|BD|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AC|}

Burada |BD| = 4 birim ve |BC| = 9 birim verilmiş.

Yukarıdaki orana göre:

\frac{|BD|}{|BC|} = \frac{4}{9}

Dolayısıyla benzerlik oranı \frac{4}{9} 'dur.

Adım 4 — |AB| uzunluğunu bulma
|AB|, ΔABD üçgeninde bulunmak isteniyor. Benzerlikten dolayı:

\frac{|AB|}{|AB|} = \frac{4}{9} \implies |AB| = ?

Burada soruda tam olarak diğer uzunluklar belirtilmemiş; fakat diğer kenarların benzerlik oranından yararlanılır.

Ancak, |AB| bilinmediği için aşağıdaki oranı kullanacağız:

\frac{|AB|}{|AB|} = \frac{4}{9} \implies |AB| = \frac{9}{4} \times |BD|

Bu yanlış yorum, çünkü burada tek bir |AB| var. Aslında bilmediğimiz |AB| için soruda tam uzunluk bilgisi olmadığından ya da verilen yanlış anlaşıldıysa, tekrar gözden geçirelim.

Daha doğru olan:

Benzerlik oranı:

\frac{|AB|}{|AB|} = \frac{|BD|}{|BC|} = \frac{4}{9}

Ama burada |AB| 'nin hem küçük hem büyük üçgende olduğunu düşünmeyelim.
|AB|, üçgenlerin ortak bir kenarıdır.

Buna göre, diğer kenarlar için oranlar kurulabilir.

ΔABD ve ΔACB benzer ise:

\frac{|AB|}{|AB|} = \frac{|BD|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AC|}

|AB| aynı her iki üçgende. Farklı kenarlar üzerinden hesap yapmalıyız.

|BD| = 4, |BC| =9 olduğundan,
Oran \frac{4}{9}

Şimdi, ΔABD’de bilinmeyen |AB| kenarını bulmak için hangi veriler var diye bakalım.
Dışında yanındaki verilen ya da soruda belirtilen herhangi farklı bir uzunluk yok.

Ama |BC| = 9, |BD| = 4 ise |DC| = 5 birim.
ΔACB üçgeninde |BC| = 9, m(∠ACB) = m(∠BAD) açılar eşit.

Bu durumda |AB|’yi bulmak için trigonometri veya Pisagor kullanılabilir, ancak soruda yeterli kabuller yapılmamış.

Doğru yaklaşım:

a) Benzer üçgenler:
ΔABD ∼ ΔACB çünkü iki açı eşit:

  • m(∠BAD) = m(∠ACB) (verilen)
  • ∠A ortak

b) |AB| uzunluğu:
Benzerlik oranı:

\frac{|BD|}{|BC|} = \frac{4}{9}

Bu durumda, benzerlik oranı küçük üçgen/büyük üçgen = 4/9.

ΔABD içindeki |AB| uzunluğunu x olarak alalım.
ΔACB’deki karşılığı da |AB| olarak kalıyor. Ama ikisi farklı oluyor çünkü küçük ve büyük üçgen.

Kısaca, |AB| uzunluğu değişmeyecek, ancak benzerlik oranıyla

x = \frac{4}{9} \times |AB|

Burada x küçük üçgenin |AB| kenarıdır. Ama soruda bizden |AB| istendiği için |AB| küçük üçgenle ilgili değil, orijinal üçgendeki.

Öyleyse, cevap |AB| = 9 birim olarak verilebilir, çünkü verilen durumda anlatılan bilgi doğrultusunda.

:white_check_mark: CEVAP:

a) ΔABD ve ΔACB benzer üçgenlerdir. Çünkü;

  • Ortak ∠A açıları var
  • m(∠BAD) = m(∠ACB) (verilen)
    İki açı eşit olduğundan (AA benzerliği), bu üçgenler benzerdir.

b) |AB| = 9 birimdir (soru verilmemişse ya da ek bilgi verilmediyse |AB| uzunluğu 9 birimdir).

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

:pushpin: SORU: ABC üçgeninde BC = 9, D ∈ [BC], BD = 4 ve m(ACB) = m(BAD). a) Hangi üçgenler benzerdir ve neden? b) |AB| kaç birimdir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
AA benzerlik (iki açısı eş olan üçgenler benzerdir) ve benzerlikten gelen kenar oranları: eğer ΔBAD ~ ΔCBA ise \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BD}{AB} olur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Açılarla benzerliği gösterme
Tanım: D noktası BC üzerinde olduğundan B,D,C doğrusal ve bu yüzden \angle ABD=\angle ABC. Verilen olarak \angle BAD=\angle ACB.
Bu problemde: İki eş açının bulunmasıyla \triangle BAD ve \triangle CBA AA ile benzerdir.

Adım 2 — Köşelerin ve kenarların eşleştirilmesi
Ne yapıldı: Benzerlikte köşe eşleşmesi: B\mapsto B,\; A\mapsto C,\; D\mapsto A.
Bu problemde: Bu eşleşmeden kenar karşılıkları: AB karşısında CB, BD karşısında BA, AD karşısında CA gelir.

Adım 3 — Oran kurma ve işlemler
Ne yapıldı: Benzerlikten \dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BD}{AB} elde edilir.
İşlem gösterimi: \dfrac{AB}{9}=\dfrac{4}{AB} → AB^{2}=4\cdot 9 → AB^{2}=36.

:white_check_mark: CEVAP: AB = 6 birimdir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. AA benzerlik
  • Tanım: İki üçgende iki açı eş ise üçgenler benzerdir.
  • Bu problemde: \angle ABD=\angle ABC ve \angle BAD=\angle ACB olduğundan \triangle BAD\sim\triangle CBA.
  1. Benzerlikten gelen kenar oranları
  • Tanım: Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
  • Bu problemde: \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BD}{AB} kullanıldı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Köşe eşleştirmede hata

  • Yanlış: Açılar eşleşmeden rastgele kenar oranı almak.
  • Doğru: Açılarla doğru köşe eşleşmesi yapılmalı (B↔B, A↔C, D↔A).
  • Neden yanlış: Yanlış eşleşme yanlış oran verir.
  • Düzeltme: Her açının karşısındaki kenarı eşleştirerek oran kurun.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?