Yazılı sorularım

YKS TYT
1

!17484553029223314054096881452505|230x500 [Link Silindi]

2

Cevap:

Sorular üzerindeki işlemleri çözmek için ayrıntılı bir yaklaşımı hazırlayalım. Görselde aşağıdaki iki soruyu ele alacağız:

1. Sorulan İlk Bölge Alanı Sorusu

Problem:

Birinci Parça
f(x) = -3x^2 + 2x - 5 fonksiyonunun grafiği,
x = -1 ve x = 1 doğruları arasında kalan sınırları eş zaman bir çoklu hesaplam gezilecek (-,),

Şekil Alan Kullanımı..

3

f(x) = -3x² + 2x - 5 fonksiyonunun x = -1 ve x = 1 doğruları ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı ve f(x)=x³ - 3x² +4 fonksiyonuna ait boyalı bölgenin alanı nasıl bulunur?

Cevap:

1. İçindekiler

  1. f(x) = -3x² + 2x - 5 Fonksiyonu İçin Alan Hesabı
  2. f(x) = x³ - 3x² + 4 Fonksiyonu İçin Alan Hesabı
  3. Özet Tablo
  4. Sonuç ve Özet

2. f(x) = -3x² + 2x - 5 Fonksiyonu İçin Alan Hesabı

Bu fonksiyon, x = -1 ve x = 1 doğruları ile x ekseni arasında kalan bölgeyi tanımlamaktadır. Ancak fonksiyonun değeri bu aralıkta negatiftir (yani grafiği x ekseninin altında kalır). Dolayısıyla, alanı bulurken fonksiyonun mutlak değerini almak ya da integrali ters çevirmek gerekir.

2.1 Değişkenlerin İncelenmesi

  • İnceleme aralığı: x = -1 ile x = 1
  • Fonksiyon: f(x) = -3x² + 2x - 5
  • Bölgede f(x) < 0 olduğu için alan,
    $
    \int_{-1}^{1} \bigl|f(x)\bigr|,dx = \int_{-1}^{1} \bigl(-(f(x))\bigr),dx = \int_{-1}^{1} (3x^2 - 2x + 5),dx.
    $

2.2 Adım Adım İntegral Hesabı

  1. İç fonksiyon: 3x² - 2x + 5
  2. Türev alma yerine tersine, integralini bulalım:
    $
    \int (3x^2 - 2x + 5),dx
    = \int 3x^2,dx - \int 2x,dx + \int 5,dx
    = x^3 - x^2 + 5x + C
    $
  3. Sınırları uygula ( -1 ’den 1 ’e ):
    $
    \Bigl[x^3 - x^2 + 5x\Bigr]_{-1}^{1}
    = \bigl(1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1\bigr) ;-; \bigl((-1)^3 - (-1)^2 + 5 \cdot (-1)\bigr).
    $
  4. Detaylı hesap:
    • x=1: 1 - 1 + 5 = 5
    • x=-1: (-1) - 1 - 5 = -7
    • Fark: 5 - (-7) = 12

Dolayısıyla, x = -1 ve x = 1 arasında fonksiyonun x ekseninin altında kalan bölge alanı 12 birim²’dir.

3. f(x) = x³ - 3x² + 4 Fonksiyonu İçin Alan Hesabı

Soruya göre, grafikte x=1 ile x=2 arasında boyalı bir bölge olduğu (görselden anlaşıldığı kadarıyla) ve eğri x=2’de x eksenini kesmektedir. Bu durumda alan,
$
\int_{1}^{2} \bigl(x^3 - 3x^2 + 4\bigr),dx
$
şeklinde hesaplanır.

3.1 Adım Adım İntegral Hesabı

  1. Fonksiyonun integrali:
    $
    \int (x^3 - 3x^2 + 4),dx
    = \frac{x^4}{4} - x^3 + 4x + C
    $
  2. Sınırlar (1’den 2’ye) uygulanır:
    • x=2 için:
      $
      \tfrac{(2)^4}{4} - (2)^3 + 4 \cdot 2
      = \tfrac{16}{4} - 8 + 8
      = 4 - 8 + 8
      = 4.
      $
    • x=1 için:
      $
      \tfrac{(1)^4}{4} - (1)^3 + 4 \cdot 1
      = \tfrac{1}{4} - 1 + 4
      = \tfrac{1}{4} + 3
      = \tfrac{13}{4}.
      $
    • Fark:
      $
      4 - \tfrac{13}{4} = \tfrac{16}{4} - \tfrac{13}{4} = \tfrac{3}{4}.
      $

Böylece, grafikte boyalı bölgenin alanı 3/4 birim² bulunur.

4. Özet Tablo

Fonksiyon İnceleme Aralığı Bölge Durumu (Üst/Alt) İntegral Hesabı (Mutlak) Sonuç
f(x) = -3x² + 2x - 5 [-1, 1] Alt (f(x) < 0) ∫ (3x² -2x +5) dx , x=-1 → x=1 12 birim²
f(x) = x³ - 3x² + 4 [1, 2] (1’de pozitif, 2’de sıfır) ∫(x³ - 3x² +4) dx , x=1 → x=2 3/4 birim²

5. Sonuç ve Özet

  • -3x² + 2x - 5 fonksiyonu, x=-1 ve x=1 arasında x ekseninin altında kaldığından, alınan alan mutlak değerden hesaplanarak 12 bulunur.
  • x³ - 3x² + 4 fonksiyonu için (sorudaki görsele göre) x=1 ile x=2 arasında kalan boyalı bölgenin alanı 3/4 birim²’dir.

Her iki durumda da integralin mutlak değer/işaret durumuna dikkat etmek ve sınır değerlerinde fonksiyonun nerede pozitif ya da negatif olduğunu incelemek önemlidir.

@Gulsum9