Verilen şekitde çermberler içine yazilan pozitif tam
yazılan çarpma (x) ve toplama (+) işlemleri yapıla-
7 Buna göre, a +b+ctoplannin eh küçük değe-
sayılar ile çemberlerin bağlı olduğu kareler içine
rak bir alt çembere sonuçlarıi yazıimiştır.
ri kaçtır?
A) 11
B) 14
C) 15
D) 39
E) 51
İşlem Şemasına Göre a + b + c Toplamının En Küçük Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Pozitif tam sayılarda ortak bölen ve ortak paranteze alma kuralı:
- a \times b = \text{Sol Çember}
- b \times c = \text{Sağ Çember}
- \text{Sol Çember} + \text{Sağ Çember} = 50 \implies b \times (a + c) = 50
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sol Çemberdeki Değeri Bulma
Şemaya göre ikinci satırdaki iki çemberin toplamı 50’yi vermektedir. Sağ çember 35 olduğuna göre:
\text{Sol Çember} + 35 = 50
\text{Sol Çember} = 50 - 35 = 15
Adım 2 — Ortak Çarpanı Belirleme
Üstteki işlemler çarpma (\times) işlemi olduğundan:
- a \times b = 15
- b \times c = 35
a, b ve c pozitif tam sayılar olduğundan, b sayısı hem 15’in hem de 35’in pozitif bir ortak böleni olmalıdır:
\text{EBOB}(15, 35) = 5
Bu durumda b’nin alabileceği değerler 1 veya 5’tir.
Adım 3 — a + b + c Toplamının En Küçük Değerini Hesaplama
Toplamın en küçük olması için ortak çarpan olan b’ye en büyük değer verilmelidir:
- b = 5 için:a = \frac{15}{5} = 3c = \frac{35}{5} = 7a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15
(Eğer b = 1 seçilseydi: a = 15, c = 35 olur ve toplam 15 + 1 + 35 = 51 çıkardı.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Çarpan (Ortak Bölen)
- Tanım: İki veya daha fazla sayıyı kalansız bölebilen sayılardır.
- Bu problemde: b sayısı hem a \times b = 15 hem de b \times c = 35 eşitliklerinde ortak çarpan olduğu için 15 ve 35’in ortak böleni (5 veya 1) olmak zorundadır.
2. Toplamın Minimum Olma Durumu
- Tanım: Çarpımları sabit olan sayılarda, ortak çarpan büyüdükçe diğer çarpanlar küçülür ve toplamın değeri minimuma yaklaşır.
- Bu problemde: b = 5 seçildiğinde a ve c değerleri minimuma inerek toplamı en küçük (15) yapmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
En Büyük Ortak Bölen Yerine En Küçük Değeri Seçmek
- Yanlış: b = 1 alarak a = 15, c = 35 bulup a+b+c = 51 işaretlemek.
- Doğru: a+b+c toplamının en küçük değeri istendiği için ortak çarpan b en büyük değer olan 5 seçilmelidir.
- Neden Yanlış: b küçüldükçe a ve c büyüyeceği için toplam en büyük değerine (51) ulaşır.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir işlem şeması sorusu çözmemi ister misin?