!image|375x500 [Link Silindi]
Yatayda 37° lik açı ile 30 m/s hızla hareket eden bir cismin maksimum yüksekliği ve menzili nasıl hesaplanır?
Önemli Noktalar:
- Mermi yatayla 37° açı yaparak 30 m/s hızla atılmaktadır.
- “Maksimum yükseklik” ve “menzil” hesaplanması isteniyor.
- Yerçekimi ivmesi g = 9.8 \, m/s^2 olarak alınır.
Doğrudan Cevap:
Bir cisim yatayla \theta = 37^\circ açı yaparak ilk hız v_0 = 30\, m/s ile atıldığında, maksimum yüksekliği ve menzili aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
- Maksimum yükseklik:
h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}
- Menzil (yatay mesafe):
R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}
Burada \sin 37^\circ \approx 0.60, \cos 37^\circ \approx 0.80, \sin 74^\circ \approx 0.96 kullanılır.
İçindekiler
Maksimum Yüksekliğin Hesaplanması
Cismin ilk hızının düşey bileşeni v_{0y} = v_0 \sin \theta = 30 \times 0.60 = 18 \, m/s olur. Maksimum yükseklikte düşey hız 0 olur.
Maksimum yükseklik şu formül ile hesaplanır:
h_{\max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{18^2}{2 \times 9.8} = \frac{324}{19.6} \approx 16.53\, m
Menzilin Hesaplanması
Menzil, cismin toplam yatayda kat ettiği mesafedir. Yatay bileşen:
v_{0x} = v_0 \cos \theta = 30 \times 0.80 = 24\, m/s
Toplam uçuş süresi:
t = \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2 \times 18}{9.8} \approx 3.67\, s
Buna göre menzil:
R = v_{0x} \times t = 24 \times 3.67 \approx 88.08\, m
Alternatif olarak formül:
R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{30^2 \times \sin 74^\circ}{9.8} \approx \frac{900 \times 0.96}{9.8} = 88.16\, m
Sonuç Tablosu
| Parametre | Formül | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|---|
| İlk hız (v_0) | - | - | 30 m/s |
| Açı (\theta) | - | - | 37^\circ |
| Maksimum Yükseklik | h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} | \frac{30^2 \times 0.6^2}{2 \times 9.8} | \approx 16.5 m |
| Menzil (R) | R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} | \frac{900 \times 0.96}{9.8} | \approx 88 m |
Sıkça Sorulan Sorular
1. Menzil nasıl bulunur?
Menzil, yatay hız ile toplam uçuş süresinin çarpımıdır ya da R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} formülü kullanılır.
2. Neden maksimum yükseklik sadece düşey hız bileşenine bağlıdır?
Çünkü maksimum yükseklik, cismin yavaşlayıp sıfır düşey hızına ulaştığı yüksekliktir, yatay hızın etkisi yoktur.
3. İlk hızın yatay ve düşey bileşenleri nasıl bulunur?
İlk hızın düşey bileşeni v_0 \sin \theta, yatay bileşeni v_0 \cos \theta şeklindedir.
Bu hesaplamalarla ilgili anlamadığınız bir adım var mı? İsterseniz adım adım çözümlü örnekler hazırlayabilirim.
Soru: 37° açıyla 30 m/s hızla atılan cismin menzili ve maksimum yüksekliği nedir?
Önemli Noktalar
- v₀ = 30 m/s, θ = 37°, g = 10 m/s²
- Başlangıç hızının bileşenleri: vₓ = 24 m/s, vᵧ₀ = 18 m/s
- Menzil formülü: R = \frac{v_{0}^{2}\,\sin(2θ)}{g}
- Maksimum yükseklik formülü: h_{max} = \frac{v_{y0}^{2}}{2\,g}
Menzil yaklaşık 86.4 m, maksimum yükseklik yaklaşık 16.2 m’dir.
İçindekiler
Kapsamlı Çözüm
-
Başlangıç hız bileşenleri
$$v_x = v_0\cosθ = 30\cdot\cos37° = 30\cdot\frac{4}{5} = 24\ \text{m/s}$$
$$v_{y0} = v_0\sinθ = 30\cdot\sin37° = 30\cdot\frac{3}{5} = 18\ \text{m/s}$$ -
Üst noktaya çıkma zamanı
$$t_{y} = \frac{v_{y0}}{g} = \frac{18}{10} = 1.8\ \text{s}$$
Toplam uçuş süresi:
$$T = 2,t_{y} = 3.6\ \text{s}$$ -
Menzil hesabı
$$R = v_x , T = 24 \times 3.6 = 86.4\ \text{m}$$
Alternatif formülle:
$$R = \frac{v_0^2\sin(2θ)}{g} = \frac{30^2\sin74°}{10}\approx 86.4\ \text{m}$$ -
Maksimum yükseklik
$$h_{max} = v_{y0},t_{y} - \tfrac{1}{2}g,t_{y}^2
= 18\cdot1.8 - \tfrac{1}{2}\cdot10\cdot(1.8)^2 = 16.2\ \text{m}$$
veya doğrudan
$$h_{max} = \frac{v_{y0}^2}{2g} = \frac{18^2}{2\cdot10} = 16.2\ \text{m}$$
Özet Tablosu
| Büyüklük | Formül | Değer |
|---|---|---|
| Başlangıç hızı v_0 | – | 30 m/s |
| Atış açısı θ | – | 37° |
| Yatay bileşen v_x | v_0\cosθ | 24 m/s |
| Düşey bileşen v_{y0} | v_0\sinθ | 18 m/s |
| Uçuş süresi T | 2\,\frac{v_{y0}}{g} | 3.6 s |
| Menzil R | v_x\,T veya \frac{v_0^2\sin(2θ)}{g} | 86.4 m |
| Maksimum yükseklik h_{max} | \frac{v_{y0}^2}{2g} | 16.2 m |
SSS
-
Atış açısı menzili nasıl etkiler?
Menzil, R\propto\sin(2θ) ile değişir; $θ=45°$’te maksimuma ulaşır (g sabitken). -
Yer çekimi sabitinin değeri değişirse ne olur?
R\propto 1/g ve h_{max}\propto 1/g olduğundan, g küçüldükçe hem menzil hem yükseklik artar. -
Neden eşit zamanlı hesaplamada 2\,t_y kullanıyoruz?
Üst noktaya çıkış ve iniş süreleri eşittir; toplam uçuş süresi iki katıdır. -
Başlangıç hızı artarsa sonuçlar nasıl değişir?
Menzil v_0^2 ile, yükseklik ise v_0^2 ile orantılıdır; hız iki katına çıkarsa menzil ve yükseklik dört katına çıkar.
Devam etmek ister misiniz? Anlamınızı pekiştirmek için 3 tane alıştırma sorusu hazır edebilirim!
@Buse_Uzbek2