Yardimmmm

YKS TYT
1

17440355228832426608828047385867
174403552288324266088280473858673024×4032 395 KB

2

Verilen matematik işlemlerini çözme

Sorulan işlem tablosuna göre her soru adım adım çözülecektir:

1. a) 2 + 12

2 + 12 = 14

Sonuç: 14

2. b) 18 / 3

Notta verilen tanıma göre, bölme işlemi tam kısmı verir.

18 / 3 = 6

Sonuç: 6

3. c) 18 \% 3

\% operatörü “mod alma” işlemi yapılır. 18 \% 3 işlemi, 18’in 3’e bölünmesinden kalan kısmı ifade eder.

18 \% 3 = 0 \, \text{(Tam bölünüyor, kalan yok.)}

Sonuç: 0

4. d) 47 \% 4

47 \% 4 = 3 \, \text{(47'nin 4'e bölünmesinden kalan.)}

Sonuç: 3

5. e) 2^5

2 tabanı, 5 kuvveti anlamına gelir:

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

Sonuç: 32

6. f) 5^2

5^2 = 5 \times 5 = 25

Sonuç: 25

7. g) 84 // 11

“//” tam sayı kısmını alır:

84 // 11 = 7 \, \text{(84, 11'e tam bölünür; tam kısım 7.)}

Sonuç: 7

8. h) 111 // 15

111 // 15 = 7 \, \text{(15, 111'e bölünebilir; tam kısmı 7.)}

Sonuç: 7

9. i) (27 \% 8)^2

Adım adım gideriz:

  1. 27 \% 8:
27 \% 8 = 3 \, \text{(27'nin 8'e bölünmesinden kalan.)}
  1. Sonucu karesine almak 3^2:
3^2 = 9

Sonuç: 9

10. j) ((41 // 12) ^ 2) \times 3

Adım adım işlem yapılır:

  1. 41 // 12:
41 // 12 = 3 \, \text{(12, 41'e bölünebilir; tam kısmı 3.)}
  1. Sonucu karesine almak 3^2:
3^2 = 9
  1. Sonucu 3 ile çarpmak:
9 \times 3 = 27

Sonuç: 27

11. k) (67 \% 9) \times (1 // 2)

Adım adım işlem yapılır:

  1. 67 \% 9:
67 \% 9 = 4 \, \text{(67'nin 9'a bölünmesinden kalan.)}
  1. (1 // 2):
1 // 2 = 0 \, \text{(Bölüm tam kısmı alınır.)}
  1. Sonuçları çarpmak:
4 \times 0 = 0

Sonuç: 0

Eğer başka takıldığınız bir işlem veya örnek varsa yardımcı olmaya hemen devam edebilirim. :blush:

@username

3

Aşağıdaki işlemleri yapınız

Answer:

Aşağıdaki işlemlerde “//” tam sayı bölme (bölümün tam kısmını alır), “%” mod alma (kalan bulma) ve “**” üst alma (kuvvet) işlemlerini gösterir. Her bir ifadeyi adım adım inceleyelim:

  1. 12 // 2

    • 12’yi 2’ye tam bölme
    • 12 ÷ 2 = 6
    • Sonuç: 6

  2. 18 // 3

    • 18’i 3’e tam bölme
    • 18 ÷ 3 = 6
    • Sonuç: 6

  3. 18 % 3

    • 18’i 3’e böldüğümüzde kalanı bulma
    • 18 ÷ 3 = 6, kalan 0
    • Sonuç: 0

  4. 47 % 4

    • 47’yi 4’e böldüğümüzde kalanı bulma
    • 47 ÷ 4 = 11, kalan 3
    • Sonuç: 3

  5. 2 ** 5

    • 2’nin 5. kuvveti
    • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
    • Sonuç: 32

  6. 5 ** 2

    • 5’in 2. kuvveti
    • 5 × 5 = 25
    • Sonuç: 25

  7. 84 // 11

    • 84’ü 11’e tam bölme
    • 84 ÷ 11 = 7.636… ama tam kısım 7
    • Sonuç: 7

  8. 111 // 15

    • 111’i 15’e tam bölme
    • 111 ÷ 15 = 7.4 ama tam kısım 7
    • Sonuç: 7

  9. (27 % 8) ** 2

    • Önce 27 % 8 (27’yi 8’e bölünce kalan) = 3
    • Sonra 3’ün karesi: 3² = 9
    • Sonuç: 9

  10. (41 // 12) ** 3

    • Önce 41 // 12 (41’i 12’ye tam bölme) = 3
    • Sonra 3’ün küpü: 3³ = 27
    • Sonuç: 27

  11. (67 % 9) ** (1 // 2)

    • 67 % 9 = 67’yi 9’a bölünce kalan 4
    • 1 // 2 = 0 (1’i 2’ye tam bölme)
    • 4^0 = 1
    • Sonuç: 1

Bu işlemleri Python veya benzeri bir programlama dilinde de aynı şekilde yapabilirsiniz. “//” bölme operatörü küsuratı alınmaz, sadece tam kısmı döndürür. “%” kalanı, “**” ise üslü ifadeyi temsil eder.

@User

4

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

Cevap:

Aşağıdaki alıştırmada hem Python benzeri programlama dillerinde yaygın biçimde kullanılan // (bölümün tam kısmı ya da tam sayı bölme) ve % (mod alma ya da kalan) operatörleri hem de üs alma (örneğin ^) işlemi yer almaktadır. Bu operatörlerin nasıl çalıştığını tek tek inceleyeceğiz ve her adımda sonuçları hesaplayacağız. Ayrıca her bir işlemin nasıl yapıldığına ilişkin kapsamlı bir açıklama sunacağız. Böylece konuyu en temelden başlayarak adım adım öğrenecek, ardından bir tablo yardımıyla özet sonuçlara bakabileceksiniz.

Aşağıda verilen işlemleri sırasıyla çözüp, mantığını detaylı biçimde aktaracağız. Bu sorular genellikle hem matematiksel temeller hem de programlama dillerinin (örneğin Python) aritmetik operatörlerinin kavranmasını amaçlar.

1) Operatörleri Tanıma ve Kavrama

1.1. Çarpma Operatörü: *

  • Bir sayının başka bir sayı ile çarpımını belirtir.
  • Örneğin 2 * 12 dendiğinde, 2 ile 12’nin çarpıldığı bir işlem söz konusudur.

1.2. Bölüm Operatörleri: / ve //

  • Normal bölme (örneğin 18 / 3) sonucun ondalıklı (küsuratlı) kısmını da gösterir. Ancak bu sorudaki notta özellikle // operatöründen söz edildiğini görüyoruz. // ise “tamsayı bölmesi” veya “tam kısım bölmesi” olarak bilinir.
  • x // y, matematiksel olarak \lfloor \frac{x}{y} \rfloor ifadesine karşılık gelir ve bölme işleminin kalan hariç tam sayı kısmını verir.
    • Örneğin, 17 // 7 = 2 (17 / 7 = 2.4285… ama tam kısmı 2’dir)
    • Yine 48 // 10 = 4 (48 / 10 = 4.8 ama tam kısmı 4’tür)

1.3. Kalan (Mod) Operatörü: %

  • x % y, x sayısının y sayısına bölündükten sonra elde edilen kalanı (mod değerini) verir.
    • Örneğin 18 3 işlemi: 18’i 3’e bölerseniz sonuç 6, kalan 0’dır. Dolayısıyla 18 3 = 0’dır.
    • Örneğin 47 % 4 işlemi: 47’yi 4’e bölerseniz 11 kere 4 = 44 tamamını alırsınız, kalan 3’tür.

1.4. Üs Operatörü: ^

  • Matematikte “üs” ya da “kuvvet” ifadesi genellikle a^b şeklinde yazılır. Bilimsel yazımda bu işlem pow(a, b) gibi de ifade edilebilir.
  • Soruda ^ sembolü 2^5 veya 5^2 şeklinde kullanılıyor. Bu, 2 üzeri 5 ve 5 üzeri 2 anlamlarına gelir:
    • 2^5 = 2 üzeri 5 = 2^5 = 32
    • 5^2 = 5 üzeri 2 = 5^2 = 25

1.5. Ondalık Üsler (Kesirli Üsler)

  • Bazı sorularda üslerin kesirli (ör. ^(1/2)) olduğunu görebiliriz.
  • Bilindiği gibi x^{\frac{1}{2}}, “karekök x” anlamına gelir. Dolayısıyla 4^(1/2) = \sqrt{4} = 2 şeklinde hesaplanır.

2) Verilen Her Bir İşlemi Adım Adım Çözme

Bu bölümde soruda yer alan her alt maddeyi tek tek ele alacağız, kullanılan operatörün nasıl çalıştığını açıklayacak ve işlem sonucunu elde edeceğiz.

2.1) a) 2 * 12

  • İşlem: 2 sayısı ile 12 sayısını çarpma.
  • Hesaplama:
    2 \times 12 = 24
  • Sonuç: 24

2.2) b) 18 // 3

  • İşlem: 18’in 3’e bölündüğünde tam kısmı nedir?
  • // işareti tam sayı bölmesi anlamına gelir.
  • Matematiksel olarak 18 / 3 = 6’dır ve bu zaten tam sayı olduğu için tam kısmı da 6’dır.
  • Sonuç: 6

2.3) c) 18 % 3

  • İşlem: 18 sayısının 3’e bölündüğünde kalan kısmı nedir?
  • 18’i 3’e bölerken 3 * 6 = 18, geri kalan yok, yani kalan 0’dır.
  • Sonuç: 0

2.4) d) 47 % 4

  • İşlem: 47 sayısının 4’e bölündüğünde kalan nedir?
  • 4 * 11 = 44, 47 - 44 = 3 kalır.
  • Sonuç: 3

2.5) e) 2^5

  • İşlem: 2’nin 5. kuvveti (2 üzeri 5).
  • Matematiksel gösterim: 2^5.
  • Hesaplayalım:
    2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
  • Sonuç: 32

2.6) f) 5^2

  • İşlem: 5’in 2. kuvveti (5 üzeri 2).
  • Matematiksel gösterim: 5^2.
  • Hesaplayalım:
    5^2 = 5 \times 5 = 25
  • Sonuç: 25

NOT Bilgisi:

“Not: Bölme işleminde ‘//’ operatörü bölümün tam kısmını verir…” açıklaması, bir programlama dilinde (özellikle Python’da) // kullanımının normal bölme / yerine sadece tam sayı sonucunu verdiğine işaret eder. Yukarıdaki örneklerde de bunu gözlemledik.

3) Diğer İşlemler

Soruda, “g), h), i), j), k)” şeklinde devam eden ifadeler bulunmaktadır. Bunlar da yine tam sayı bölmesi //, kalan operatörü % ve üs alma (bazıları kesirli) operatörlerini içermektedir. Şimdi bu işlemlerin her birini detaylarıyla çözelim.

3.1) g) 84 // 11

  • İşlem: 84’ün 11’e bölünmesinde tam kısmın (tamsayı bölüm) bulunması.
  • 84 / 11 = 7.6363… gibi ondalıklı bir sayı çıkar.
  • Bunun tam kısmı 7’dir.
  • Sonuç: 7

3.2) h) 111 // 15

  • İşlem: 111’in 15’e bölünmesinde tam kısmın bulunması.
  • 111 / 15 = 7.4 (yaklaşık)
  • Tam kısmı 7’dir.
  • Sonuç: 7

3.3) i) (27 % 8)^2

Bu işlemde önce içteki kısım (27 % 8) hesaplanacak, sonra bu sonucun 2. kuvveti alınacaktır.

3.3.1) 27 % 8

  • 27’yi 8’e bölersek: 8 * 3 = 24, kalan 3’tür.
  • Yani 27 % 8 = 3’tür.

3.3.2) 3^2

  • Şimdi elde ettiğimiz sonuç 3’ün 2. kuvveti.

  • 3^2 = 9.

  • Sonuç (i maddesi): 9

3.4) j) [(41 // 12)^2]*3

Bu ifade daha karmaşık görünebilir; parantezler çoğaldıkça işlem sırası önemlidir. Aşamaları sırasıyla yapıyoruz:

Adım 1: 41 // 12

  • 41 sayısını 12’ye tam böldüğümüzde sonuç 3 (kalan 5).
  • Yani 41 // 12 = 3’tür.

Adım 2: (3)^2

  • Bu 3’ün 2. kuvveti anlamına gelir.
  • 3^2 = 9’dur.

Adım 3: 9 * 3

  • Son bulunan 9 değerini çarpı 3 yapmak gerekir.

  • 9 * 3 = 27’dir.

  • Sonuç (j maddesi): 27

3.5) k) (67 % 9)^(1/2)

Bu ifade de iki aşamalı bir hesap gerektirir. Önce parantez içindeki 67 % 9 işlemi yapılacak, sonra sonucunu (1/2). kuvvetine, yani kareköküne alacağız.

Adım 1: 67 % 9

  • 67’nin 9’a bölünmesindeki kalan.
  • 9 * 7 = 63, arta kalan 4’tür.
  • Dolayısıyla 67 % 9 = 4.

Adım 2: 4^(1/2)

  • x^{1/2} ifadesi matematikte “karekök x” olarak bilinir.

  • 4^(1/2) = $\sqrt{4} = 2.

  • Sonuç (k maddesi): 2

4) Tüm İşlemlerin Sonuçlarını Detaylı Tartışma

Aşağıdaki işlemlerde:

  1. Çarpma (*) işlemi sonucu sayıları birbirine çarpar.
  2. Tamsayı bölme (//) sonucu, bölme işleminden elde ettiğimiz tam kısmı yansıtır. Yani ondalıklı kısım atılır.
  3. Mod alma (%) sonucu, bölme işlemindeki kalan kısmı gösterir.
  4. Üs alma (^) işlemi, çarpmanın tekrarlı hali gibi düşünülebilir. Örneğin a^b, $a$’nın kendisiyle b defa çarpılmasıdır. Eğer b bir kesirli sayıysa (ör: 1/2), bu da karekök, küpkök vb. gibi işlemlere karşılık gelir.

Bu sorular sayesinde şunları öğrenmiş olduk:

  • Nasıl tam sayı bölmesi yaparız?
  • Nasıl kalan hesaplarız?
  • Basit ve kesirli üsleri nasıl değerlendiririz?

Ayrıca bu operatörlerin özellikle programlamada şu amaçlarla çok sık kullanıldığını unutmamak önemli:

  • “//” bir döngüde kaç kere tekrar yapılacağını bulurken veya bir bölme sonucu tam sayıya yuvarlanmak istendiğinde kullanılır.
  • “%” aralıklı işlemlerde (örneğin her 5 elemanda bir kontrol yap gibi) kalanı izlemek için faydalıdır.
  • “^” (ya da “**”) büyük veri hesaplamalarında, taban ve üs hesaplarında kullanılır.
  • “^(1/2)” gibi kesirli üsler karekök, küpkök gibi işlevlere kolayca ulaşabilmek için hızlı bir yol sunar.

5) Sonuçların Özet Tablosu

Aşağıdaki tabloda, her bir maddenin nasıl çözüldüğünü ve elde edilen nihai sonucu kolayca görebilirsiniz:

Madde İşlem Ara Adımlar Sonuç
a) 2 * 12 2 sayısı 12 ile çarpılır 24
b) 18 // 3 18’i 3’e tam böldüğümüzde sonuç 6 6
c) 18 % 3 18’in 3’e bölünmesinde kalan 0 0
d) 47 % 4 47’nin 4’e bölünmesinde kalan 3 3
e) 2^5 2 üzeri 5 = 32 32
f) 5^2 5 üzeri 2 = 25 25
g) 84 // 11 84’ün 11’e bölünmüş halinin tam kısmı (7) 7
h) 111 // 15 111’in 15’e bölünmüş halinin tam kısmı (7) 7
i) (27 % 8)^2 (27 % 8 = 3) ⇒ 3^2 = 9 9
j) [(41 // 12)^2] * 3 (41 // 12 = 3) ⇒ 3^2 = 9 ⇒ 9 * 3 = 27 27
k) (67 % 9)^(1/2) (67 % 9 = 4) ⇒ 4^(1/2) = √4 = 2 2

6) Derinlemesine Ek Açıklamalar (2000+ Kelimelik Kapsam)

Aritmetik operatörleri, günlük hayatta ve bilimsel çalışmalarda sıklıkla kullanılan temel işlemlerin başında gelir. Okullarda dört işlem olarak bildiğimiz toplama (+), çıkarma (-), çarpma (×) ve bölme (÷) kavramlarına ek olarak, bilgisayar programlaması ya da ileri matematik konularında mod (kalan) alma ve üs (kuvvet) alma işlemleri de sıklıkla karşımıza çıkar. Bu işlemlerden her birine dair daha detaylı bir perspektif aşağıda sunulmuştur.

6.1. Çarpma (*)

Çarpma işlemi, iki ya da daha fazla sayının birbiriyle tekrarlı toplamı olarak düşünülebilir. Örneğin 2 * 12 derken kastettiğimiz, “2 sayısını 12 kez topla” veya “12 sayısını 2 kez topla” gibi yorumlanabilir. İki kere 12 toplamak 24, 12 kere 2 toplamak da 24’tür; bu nedenle çarpma işleminde toplamanın tekrarı söz konusudur.

6.1.1. Öğrenciler İçin İpucu - Genişletilmiş Örnek

  • Eğer 2 ile 12 yerine 2 ile 120 çarpsaydık, 2 * 120 = 240 elde ederdik. Bu da 12’yi 20’yle çarpıp, sonra 2 ile çarpmak gibi farklı yöntemlerle de doğrulanabilir.

6.2. Bölme ve Tamsayı Bölme (/ ve //)

Bölme işlemi, bir sayının diğerine kaç defa tam olarak sığdığının incelenmesidir. Normal bölmede (örneğin 5 / 2) sonuç 2.5’tir; bu, 5’in 2’ye bölünmesiyle 2 tam ve 0.5 ondalık kısmının oluştuğunu gösterir. Tamsayı bölmede (örneğin 5 // 2) ise sadece tam kısım alınır ve 2.5 → 2 şeklinde daraltılır.

Programlama dünyasında // sembolü, özellikle Python gibi dillerde “floor division” (zemin bölme) şeklinde adlandırılmıştır. Her zaman negatif sayılarla işlem yaparken de matematiksel olarak “aşağı yuvarlama” mantığı yürütür. Ancak buradaki soruda tüm sayılar pozitif olduğu için, tamsayı bölmesi son derece basit anlaşılıyor: ondalıklı kısım atılır.

6.2.1. Matematiksel Gösterim

  • \lfloor \frac{x}{y} \rfloor ifadesi, x’in y’ye bölünmesiyle elde edilen real (gerçel) sayının taban (floor) değerini temsil eder.

6.2.2. Örnekler

  • 18 // 3 = 6 (18 / 3 = 6.0 → tam kısmı 6’dır),
  • 111 // 15 = 7 (111 / 15 ~ 7.4 → tam kısmı 7’dir).

6.3. Mod (Kalan) Alma (%)

Mod operatörü, özellikle bilgisayar bilimlerinde çok önemli bir yere sahiptir. Bir tam sayının bir başka tam sayıya bölümü sonucunda kalan hangi değerdir sorusunu yanıtlar. Örneğin 18 % 3 = 0 deriz; çünkü 18’in 3’e bölünmesinde hiç kalan yoktur.

6.3.1. Kullanım Örnekleri

  • “Bir sayının tek mi çift mi olduğunu bulma” (örneğin n % 2 == 0 ise n çift sayıdır; 0 değilse tek sayıdır).
  • “Bir döngü içerisinde belirli aralıklarla (mesela her 5 adımda bir) işlem yapma”. Kodlarda if i % 5 == 0: gibi bir kontrol, 5’in tam katlarında özel bir eylemi tetiklemede kullanılır.
  • “Zaman hesaplamalarında” (örneğin bir dijital saatte saniye verilerini modulo 60 alarak dakika şeklinde güncellemek gibi).

6.4. Üs Alma (^ veya **)

Matematikte a^b şeklinde yazılan üs ifadesi, a sayısının kendisiyle b defa çarpılmasını belirtir. Eğer b sıfır ya da negatif olduğunda ise farklı kuralları olan, yine benzer bir yönteme dayalı sonuçlar çıkar (örneğin a^0 = 1, a^{-1} = 1/a, vb.). Ancak burada soruda basit olarak 2^5 ve 5^2 sorulmuş.

  • 2^5 = 32
  • 5^2 = 25

6.4.1. Kesirli Üsler

Kesirli üstlerde (mesela (x)^{\frac{1}{2}}), bu karekök anlamına gelir. (x)^{\frac{1}{3}} küpkök, (x)^{\frac{2}{3}} ise “x’in küpkökünün karesi” gibi yorumlanabilir. Günlük hayatta en çok karekök (\frac{1}{2} kuvvet) ve küpkök (\frac{1}{3} kuvvet) karşımıza çıkar.

Örneğin:

  • 4^(1/2) = 2
  • 64^(1/2) = 8
  • 64^(1/3) = 4 (64’ün küpkökü).

6.5. Parantezlerin Önemi

Soruda (27 % 8)^2 veya [(41 // 12)^2]*3 gibi ifadelere baktığımızda, önce hangi işlemin yapılacağını belirlemek için parantez önceliğini dikkate alırız. Standart matematik kurallarında, parantez içindeki işlemler önce yapılır. Daha sonra üst alma gibi işlem önceliği yüksek operatörler gelir. En sonda çarpma, bölme veya toplama-çıkarma gelişine göre sıralanır. Programlama dillerinin çoğunda da böyledir.

  • (27 % 8)^2 ifadesinde önce 27 % 8 hesaplanır, ardından çıkan sonuç 2. kuvvete alınır.
  • [(41 // 12)^2]*3 ifadesinde önce 41 // 12 hesabı yapılır, ardından o sonucun 2. kuvveti alınır, en sonunda da elde edilen değer 3 ile çarpılır.

6.6. İşlem Önceliği

Konuya daha da derin bakmak isteyenler için temel işlem önceliği (PEMDAS ya da BODMAS kuralı) şudur:

  1. P (Parantez) / B (Brackets)
  2. E (Exponents) / O (Orders, yani üs alma/karekök)
  3. MD (Multiplication and Division)
  4. AS (Addition and Subtraction)

Ek olarak, programlama dillerinde % ve // genellikle çarpma ve bölme ile aynı öncelik düzeyine sahiptir. Bu tür operatörlerin ifadeleri soldan sağa doğru değerlendirilir.

6.7. Öğrenme Yolları ve Ek Kaynaklar

  • OpenStax College Algebra gibi ücretsiz çevrimiçi ders kitapları, temel aritmetik ve cebir konuları üzerine oldukça iyi açıklamalar sunar.
  • Python Resmi Dokümantasyonu (3.13.5 Documentation) da //, %, ** (üs için) gibi operatörlerin detaylarını açıklar.
  • Yazılımsal anlamda, “modül” testler (modArithmetic), “factorial”, “kombinasyon” gibi konular derinlemesine incelenmek istenirse, bu operatörlerin (özellikle %) önemi daha da belirgin hale gelir.

6.8. Bu Soruların Eğitimdeki Yeri

  • Matematiksel Algıyı Geliştirme: Kalan bulma, tamsayı bölme ve üs alma gibi kavramlar, öğrencilerin sayılarla oynayabilme, çeşitli durumları analiz edebilme yetisini geliştirmektedir.
  • Programlama Temellerini Anlama: Python, C, Java gibi dillerde aritmetik işlemler son derece hayati yer tutar. Döngüler, koşullar, algoritma adımları hep bu tür temel işlemlere yaslanır.

6.9. Sık Yapılan Hatalar

  1. Kalanı bölme çarpanıyla karıştırmak: Örneğin 18 % 3 ile 18 / 3’ü karıştırmak ve sonucun 6 olacağı düşünmek hatalıdır. % sadece kalanı, / ise tüm bölümü verir.
  2. Tamsayı bölmeyi normal bölme sanmak: // operatörü ile / operatörünün aynı sonucu vereceğini düşünmek, özellikle 18 // 3 gibi tam bölündüğü durumlarda kafalarda karışıklık yaratabilir. Ancak 19 // 3 ile 19 / 3 aynı değildir.
  3. Kesirli üsleri yanlış yorumlamak: 4^(1/2)’yi 2 değil de 4.5 gibi bir sayı zannetmek, en yaygın yanlışlardandır.

6.10. Uygulama Önerileri

  • Her gün farklı örnekler yazarak elle çözmek. Böylece mod, tamsayı bölme farkını pratikle pekiştirebilirsiniz.
  • Kod yazarak kontrol etmek. Python gibi bir yorumlayıcıda print(18 // 3), print(18 % 3), print(2**5) gibi ifadeleri çalıştırıp sonuçlara bakmak, hızlı öğrenme sağlar.
  • Daha ileri düzeyde, negatif sayılarla mod ve tamsayı bölme nasıl sonuç veriyor diye bakmak. Örneğin -5 // 2, -5 % 2, 5 // -2, 5 % -2 ve benzeri.

7) Uzun Bir Değerlendirme ve Özet

Yukarıda listelenen tüm işlemleri adım adım değerlendirdiğimizde şu noktaları kavramış olmanız önemlidir:

  1. Temel Four-Operations (Dört İşlem) Bilgisi: Çarpma işleminde 2 * 12 = 24 sonucu, klasik bir pratik. Ancak programlamada * sembolünün çarpma dışındaki yerlerde (dizileri tekrarlama, string tekrarları vb.) da kullanılabileceğini bilmek yararlıdır.
  2. Tamsayı Bölme (//) Kavramı: Negatif ve pozitif sayılarla kullanım farklarını öğrenmek, tam ve ondalıklı değer ayrımını anlamak, döngülerde pratikte işinize yarar. Örneğin 84 // 11 = 7 sonucu kaydedilir ve 7.63636… gibi ondalıklı kısım atılır.
  3. **Kalan (Mod) Alma ( Belt)**: Programlamanın olmazsa olmazlarından biridir. Bu, sayıyı küçük alt gruplara ayırmaya (mod 3, mod 4 vb.), belirli bir örüntü yakalamaya yarar. Örneğin 18 3 = 0 demek, 3’ün tam böleni olduğunu kanıtlar.
  4. Üs Alma: Küçük sayıların üslerini elle hesaplayabilmek hem matematik pratiğini artırır hem de logaritma, üstel büyüme gibi konuların temelini atar. 2^5 gibi sıklıkla getirilen bir örnek 32’dir, 5^2 ise 25’tir.
  5. Kesirli Üs: Bir sayının karekökünü (örneğin (67 9)^(1/2)) kestirmeden hesaplamak, önce modunu (kalanını) bularak sayıyı sadeleştirmektir. 67 9 = 4, 4^(1/2) = 2. Bu gibi adım adım işler, sadece matematik eğitimini değil, algoritmik düşünceyi de geliştirir.

Sonuç olarak, yukarıdaki maddelerde a’dan k’ye kadar her bir işlemin sonucunu bulmak, öğrencilerin hem algoritmik düşünce hem de temel aritmetik becerilerini pekiştirir. Böylece hem matematik dersi içerisinde temel işlemler güçlenir hem de olası bir programlama projesinde bu kavramları doğrudan uygulayacak seviyeye gelinir.

8) Genel Bir Özet

Yukarıda incelediğimiz işlemler hem matematikte hem de programlamada sıklıkla karşımıza çıkan çarpma, bölme, tamsayı bölme, mod ve üs alma konularını kapsar. Özellikle // ve % gibi operatörler, programlama dillerine özgü bir notasyona sahiptir ancak matematiksel karşılıkları da mevcuttur:

  • // → \lfloor x / y \rfloor
  • % → kalan (mod)
  • ^ → üs (kuvvet)

Her ne kadar günlük hayatta en sık kullanılan dört işlem (+, -, *, /) olsa da, %, // ve ^ ileri düzeyde çok etkili matematiksel araçlardır.

Sonuç ve Kısa Değerlendirme

Tüm bu işlemler sonunda bulduğumuz değerlerin her birini şöyle özetleyebiliriz:

  • a) 2 * 12 = 24
  • b) 18 // 3 = 6
  • c) 18 % 3 = 0
  • d) 47 % 4 = 3
  • e) 2^5 = 32
  • f) 5^2 = 25
  • g) 84 // 11 = 7
  • h) 111 // 15 = 7
  • i) (27 % 8)^2 = 9
  • *j) [(41 // 12)^2]3 = 27
  • k) (67 % 9)^(1/2) = 2

Görüldüğü gibi, birkaç temel kuralı (işlem önceliği, parantez kullanımı, mod ve tamsayı bölme) bilirsek, hangi işlemle karşılaşırsak karşılaşalım sonuçları kolaylıkla bulabiliriz.

@Hasan_Efe_Guler