Verilen Matematik Sorusu Analizi ve Çözümü
Soru:
Yukarıdaki soruda verilen koordinat düzleminde her bir nokta, bir doğru denklemine göre yer almaktadır. Doğrunun denklemine göre A noktasının orijine olan uzaklığı istenmektedir. Doğru denklemi şu şekilde verilmiştir:
5x - 3y = 16
Adım Adım Çözüm:
1. A Noktasının Koordinatlarını Bulma
A noktasının belirtilen denklem üzerindeki bir noktada olduğu söyleniyor, fakat tam koordinatlar verilmemiş. Eğer bu doğru denkleminden A’nın orijine olan uzaklığı bulunuyorsa:
Koordinatlar (x, y) olacaktır.
Şimdiki amaç merkez/çarpan oluşturmayı sağlamaktır.
Bu durum… çözüm editlenmekte @Fatma_Simsek
Yukarıdaki koordinat düzleminde A noktası 5x – 3y + 16 = 0 doğrusu üzerindedir. A noktası eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre A noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
İçindekiler
1. Verilen Bilgilerin Analizi
- A noktası, 5x - 3y + 16 = 0 doğrusu üzerindedir.
- A noktası eksenlere eşit uzaklıktadır.
Yani A(a, a) veya A(-a, -a) olabilir (mutlak değer olarak eşit uzaklık).
2. Eksenlere Eşit Uzaklık Şartı Ne Demektir?
Bir noktanın eksenlere (hem x eksenine hem de y eksenine) uzaklığı |x| ve |y| kadardır.
Eşit uzaklık olması için:
Yani x = y veya x = -y
3. A Noktasının Koordinatlarıyla Doğru Denklemini Sağlama
A(x, y) noktası 5x - 3y + 16 = 0 doğrusu üzerinde.
|x| = |y| olduğundan iki ihtimal var:
- y = x
- y = -x
Bu ikisini de doğruya yerleştirip olası koordinatları bulacağız.
4. Adım Adım Çözüm
A) y = x için:
Denklem:
y = x yerine koyarsak:
Bu durumda y = x = -8 olur.
Yani A(-8, -8) noktası bir çözümdür.
Koordinatların çarpımı:
Bu, şıklarda yok! Şimdi y = -x için deneyelim.
B) y = -x için:
Denklem:
y = -x yerine koyarsak:
y = -x olduğundan y = 2
Bu durumda A(-2, 2) noktası olur.
Koordinatların çarpımı:
Şıklara Bakalım:
- A) -15
- B) -4 ← (Koordinatların çarpımı)
- C) 4
- D) 15
Doğru cevap: -4
5. Çözümün Tablo ile Özeti
| Şart | Denklem Çözümü | Koordinatlar | Çarpım |
|---|---|---|---|
| y = x | 2x + 16 = 0 | (-8, -8) | 64 |
| y = -x | 8x + 16 = 0 | (-2, 2) | -4 |
6. Cevabın Özeti
A noktası eksenlere eşit uzaklıktaysa ve 5x - 3y + 16 = 0 doğrusu üzerindeyse, A noktasının koordinatlarının çarpımı -4 bulunur. Doğru seçenek: B) -4
Formül ve yöntemleri özetle:
- Eksenlere eşit uzaklık |x| = |y| anlamına gelir.
- Doğru denklemi üzerinde olduğu için koordinatlar denklemde yerine yazılır.
- İki olasılık denenir: y = x ve y = -x.
- Sonuç: (-2, 2) noktasının çarpımı -4 olur.
Sonuç Tablosu
| Şık | Koordinatlar | Çarpım |
|---|---|---|
| A | … | -15 |
| B | (-2, 2) | -4 |
| C | … | 4 |
| D | … | 15 |
Doğru cevap: B) -4
Yukarıdaki koordinat düzleminde A noktası 5x - 3y = 16 doğrusu üzerindedir. A noktası x eksenine eşit uzaklıkta olduğuna göre A noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?
Cevap:
Sorunun Analizi
- A noktası 5x - 3y = 16 doğrusu üzerindedir.
- A noktası x eksenine eşit uzaklıkta diyor. Bu, A noktasının y ekseninde yukarıda ve aşağıda olan iki simetrik nokta olabileceği anlamına gelir, yani A noktası (x, y) ise, y eksenine olan uzaklık |y| olur.
- Ancak sorunun devamında “koordinatlarının çarpımı” dendiği için uygun olan değeri bulmamız gerekmekte.
Koordinat Eksenine Olan Uzaklık
Bir noktanın x eksenine olan uzaklığı |y| değeridir. Cümlede eksen demiş, ama soldaki grafikte A noktası, y ekseninin sağında ve x ekseninin üstünde görünüyor. Dolayısıyla koordinatları (x, y) ve y > 0 olarak alınabilir.
Aynı uzaklıkta iki nokta olurdu: (x, y) ve (x, -y), ama çarpımları zıt işaretli olur. Şıklarda bu fark göz önünde bulundurulmuş.
Adım Adım Çözüm
1. A Noktası 5x - 3y = 16 Üzerindedir
- A(x, y) noktası için bu doğruyu sağlayan koordinatlar olması gerekir: 5x - 3y = 16
2. A(x, y) noktası x eksenine eşit uzaklıkta.
- Bu, A(x, y) ile A(x, -y) simetri anlamına gelir, fakat hangi y değeri olduğu seçilmeli.
- Sorudan, bir noktadan bahsedildiği için örneğin y>0 alınacaktır. Noktanın grafikte de üst tarafta olduğu görünüyor.
3. Koordinatların Çarpımı: x \cdot y
Bunu bulmak için yukarıdaki doğruda bir nokta seçmeliyiz. Fakat başka bir ipucu olmalı. Şıklara baktığımızda tam değerler isteniyor.
4. Çözüm
Doğruyu x cinsinden değerlendirelim.
A noktası x eksenine olan uzaklığı eşit olan iki noktadan biridir: (x, y) ve (x, -y). Her ikisi de doğru üzerinde olmalıdır.
Doğru üzerinde oldukları için denklemlerde yerine yazalım:
- (x, y) için: 5x - 3y = 16
- (x, -y) için: 5x - 3(-y) = 16 \implies 5x + 3y = 16
Şimdi bu iki denklemi toplayıp çözersek:
- 5x - 3y = 16
- 5x + 3y = 16
Toplayalım:
Şimdi x’i yerine koyalım ve y’yi bulalım:
Ama y=0 olursa x ekseninin üzerinde olur, “eşit uzaklık” için y’nin sıfırdan farklı olması gerekir. Demek ki başka bir koşul var.
Sorunun resmine yakından bakınca A noktası y ekseninde simetrik noktadır. Yani A(x, y) ile A(-x, y) simetriktir. Ama burada “x eksenine eşit uzaklık” dediği için y ve -y olmalı, ve ikisi de doğru üzerinde olmalı.
Bunu sağlayan y’leri çözelim:
- 5x - 3y = 16 ve 5x + 3y = 16
Ama, üstteki işlem ile y=0 çıkıyor. Alternatif olarak, sorunun yanında grafikte A noktası işaretlenmiş: x < 0, y > 0 gibi görünüyor. Doğrunun x ve y kesişim noktalarını bulalım.
Doğrunun y eksenini kestiği nokta (x=0):
y eksenini y = -\frac{16}{3}'te keser.
Doğrunun x eksenini kestiği nokta (y=0):
x eksenini x = \frac{16}{5}'te keser.
Şıklarda ise -15, -4, 4, 15 var. Bunlar x \cdot y çarpımı için.
Alternatif yöntem: y yerine -y yazınca denklemde y=0 çıkıyor ve mantıklı olmuyor.
Başka bir çözüm: A noktası x ekseninden d kadar yukarıda ve -d kadar aşağıda iki nokta verir. Bunların ikisinin de doğru üzerinde olması gerek. Bu, y’yi ve -y’yi yerine koyalım ve iki denklem çıkartalım:
5x - 3y = 16
5x - 3(-y) = 16 \implies 5x + 3y = 16
Bu ikisi arasında y değerini bulmak için çıkaralım:
(5x + 3y) - (5x - 3y) = 16 - 16 \implies 6y = 0 \implies y = 0
Tekrar y=0 çıkıyor. Oysa x ekseninde olmaması gerek. Sorunun doğru anlaşılması gerek.
Aslında şıklardaki çarpımların mutlak değerleri 15 ve 4 olabilir, bunlar (5, 3) veya (1, 4) gibi çözümlerle elde edilebilir. Doğru üzerinde bazı tam sayı noktalarını inceleyelim:
5x - 3y = 16
Küçük tam sayılar deneyelim:
x=4 için:
5 \cdot 4 - 3y = 16 \rightarrow 20 - 3y = 16 \rightarrow 3y = 4 \rightarrow y = \frac{4}{3}
x=5 için:
25 - 3y = 16 \rightarrow 3y = 9 \rightarrow y=3
x=-1 için:
5\cdot -1 - 3y = 16 \rightarrow -5 - 3y = 16 \rightarrow -3y = 21 \rightarrow y = -7
x=1 için:
5 - 3y = 16 \rightarrow -3y = 11 \rightarrow y = -\frac{11}{3}
Ama seçeneklerde x=5, y=3 olursa x*y=15, x=-5, y=-3 olursa x*y=15. x=3, y=-\frac{1}{3} gibi denesek de tam sayıları bulmalıyız.
Doğru Cevap:
Doğru üzerindeki x=5, y=3 için:
A(5, 3) noktası hem doğrunun üzerinde hem de x eksenine eşit uzaklıktaki simetrik noktası (5, -3) olur. Her ikisi de x değerleri sabit, y eksenindeki mesafeleri eşit.
Bunların çarpımı:
Sonuç
A noktası (5, 3) alınabilir, koordinatlarının çarpımı:
- CEVAP: \boxed{15}
Soru: Yukarıdaki koordinat düzleminde A noktası 5x − 3y = 16 doğrusu üzerindedir. A noktası x eksenine eşit uzaklıkta olduğuna göre A noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?
Cevap:
A noktasının x eksenine uzaklığı, noktanın y koordinatının mutlak değeri (|y|), y eksenine uzaklığı ise x koordinatının mutlak değeri (|x|) kadardır. “A noktası x eksenine eşit uzaklıkta” ifadesi çoğunlukla, A’nın x ve y eksenlerine eşit uzaklıkta olduğunu belirtmek için kullanılır. Yani:
|x| = |y|
A noktası 5x − 3y = 16 doğrusunda y = ±x olacak şekilde iki farklı değer alabilir:
-
y = x
5x − 3x = 16
2x = 16
x = 8
y = 8
A = (8, 8)
Koordinatların çarpımı = 8 × 8 = 64 -
y = −x
5x − 3(−x) = 16
5x + 3x = 16
8x = 16
x = 2
y = −2
A = (2, −2)
Koordinatların çarpımı = 2 × (−2) = −4
Soruda, şekil genellikle birinci bölgede gösteriliyorsa aranan nokta (8, 8) olup koordinat çarpımı 64 olur. Ancak hangi bölgede yer aldığı belirtilmemişse, matematiksel olarak her iki çözüm de geçerlidir. Sınav veya kaynak, çizimde A’yı birinci bölgede göstermişse cevabı 64 olarak almanız gerekir.