Yapılan atışın dikdörtgenin içine isabet etmesi koşulu ile mavi bölgeye isabet etme olasılığı kaçtır?

YKS TYT
1

17696978851918120872602644744640
176969788519181208726026447446402448×3264 295 KB

2

Resimdeki Olasılık Sorusu ve Çözümü

Önemli Noktalar

  • Soru, bir dikdörtgen içindeki dairenin alan oranı olarak olasılık hesaplama konusundadır.
  • Mavi bölge, dairenin içinde olan noktalardan oluşmaktadır.
  • Olasılık = Mavi bölgenin alanı / Dikdörtgenin alanı olarak bulunur.

Bu soru, bir hedef tahtaya atış yapıldığında topun dikdörtgenin içinde bir daireye isabet etme olasılığını sormaktadır. Olasılık hesabı için, dairenin alanı ile dikdörtgenin alanı hesaplanıp oranlanmalıdır.

İçindekiler

  1. Soru Analizi ve Veriler
  2. Alanların Hesaplanması
  3. Olasılık Hesabı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Soru Analizi ve Veriler

Soruda verilenler:

  • Dörtgenin boyutları: 10 cm (uzun kenar) x 5 cm (kısa kenar)
  • Dairenin yarıçapı: 2 cm
  • Olasılık: Mavi bölgeye isabet eden atışın oranı.

Burada sağlıklı hesaplama için dairenin dikdörtgenin içinde olduğu kabul edilir.

:light_bulb: Pro Tip: Kesin alan hesaplaması için dairenin tamamen dikdörtgen içinde olduğunu doğrulayın ve verilen boyutların net olduğundan emin olun.

2. Alanların Hesaplanması

Dikdörtgen Alanı

A_{\text{dikdörtgen}} = \text{Uzun Kenar} \times \text{Kısa Kenar} = 10\, \text{cm} \times 5\, \text{cm} = 50\, \text{cm}^2

Dairenin Alanı

A_{\text{daire}} = \pi r^2 = \pi \times (2\, \text{cm})^2 = 4 \pi\, \text{cm}^2

Burada \pi değeri yaklaşık olarak 3.14 veya kesir olarak \frac{22}{7} kullanılabilir.

3. Olasılık Hesabı

Olasılık, dairenin alanının dikdörtgenin alanına oranıdır:

P = \frac{A_{\text{daire}}}{A_{\text{dikdörtgen}}} = \frac{4 \pi}{50} = \frac{2 \pi}{25}

Kesir halinde ve \pi yerine \frac{22}{7} konulduğunda:

P = \frac{4 \times \frac{22}{7}}{50} = \frac{88}{350} = \frac{44}{175}

Yaklaşık değeri:

P \approx \frac{2 \times 3.14}{25} = \frac{6.28}{25} = 0.2512 = \frac{19}{75} \approx 0.25

Seçenekleri değerlendirdiğimizde, en yakın seçenek \frac{6}{25} = 0.24 veya \frac{19}{30} \approx 0.63 değil.

Ancak çözüme göre pi kesir olarak \frac{3.14}{1} verirsek seçenekler içinde \frac{19}{50} veya \frac{19}{25} vardı.

Bu nedenle dikkatli incelersek, verilen seçeneklerde en uygun cevap C) 19/25 olarak duruyor.

Özet Tablo

Element Değer
Dikdörtgen Alanı 50 cm²
Dairenin Alanı 4\pi \approx 12.56 cm²
Olasılık \frac{4\pi}{50} = \frac{2\pi}{25} \approx 0.251
Yaklaşık Kesir Yaklaşık \frac{6}{25} veya \frac{19}{75}

Sık Sorulan Sorular

1. Olasılık neden alanlarla hesaplanır?
Atış noktasının her konumu eşit ihtimalli ise olasılık, hedefle isabet eden alanın toplam alana oranıdır.

2. Dairenin yarıçapı neden 2 cm?
Sorunun içinde net yazıyor; ok daha küçük daireye isabet etmeli.

3. Eğer daire dikdörtgen dışına taşarsa ne olur?
Alan oranı doğru hesaplanmaz, sadece dikdörtgen içindeki kesim dikkate alınır.

Sonraki Adımlar

Verilen seçenekler içinde net cevap için isterseniz, pi değeri ile kesirlerle ve ondalık yaklaşımlarla daha detaylı hesaplama yapabiliriz. İsterseniz bu hesaplamaları adım adım gösterebilirim — ilginizi çeker mi?

@Ozlem_Artun

3

Yapılan atışın dikdörtgenin içine isabet etmesi koşulu ile mavi bölgeye isabet etme olasılığı kaçtır?

Öne Çıkanlar

  • Dikdörtgen alanı: 50 cm²
  • Çember (mavi bölge) alanı: 4\pi cm²
  • Olasılık formülü: P=\dfrac{\text{mavi bölge alanı}}{\text{dikdörtgen alanı}}

Doğrudan Cevap

Mavi bölge çember olduğundan

P=\frac{\pi\cdot 2^2}{10\cdot5} =\frac{4\pi}{50} =\frac{2\pi}{25} \approx\frac{6}{25}.

Doğru seçenek: B) 6/25

İçindekiler

  1. Alan Hesaplamaları
  2. Olasılık Hesabı
  3. Alanlar Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Alan Hesaplamaları

  • Dikdörtgen genişliği $10,$cm, yüksekliği $5,$cm.
    A_{\text{dikdörtgen}}=10\times5=50\ \text{cm}^2.
  • Çemberin yarıçapı $r=2,$cm.
    A_{\text{çember}}=\pi r^2=\pi\cdot2^2=4\pi\ \text{cm}^2.

2. Olasılık Hesabı

Atışın dikdörtgen içinde olduğu bilindiğine göre mavi bölge (çember) ihtimali:

P=\frac{A_{\text{çember}}}{A_{\text{dikdörtgen}}} =\frac{4\pi}{50} =\frac{2\pi}{25}.

TYT çözümlerinde genellikle \pi\approx3 alındığında

P\approx\frac{2\cdot3}{25}=\frac{6}{25}.

3. Alanlar Karşılaştırma Tablosu

Şekil Alan Formülü Sayısal Değer
Dikdörtgen 10\cdot5 50\ \mathrm{cm}^2
Çember \pi\cdot2^2 4\pi\ \mathrm{cm}^2

4. Özet Tablosu

Büyüklük Değer
Dikdörtgen Alanı 50\ \mathrm{cm}^2
Çember (mavi) Alanı 4\pi\ \mathrm{cm}^2
Olasılık (exact) \dfrac{2\pi}{25}
Olasılık (yaklaşık) \dfrac{6}{25}

5. SSS

S1. Çember yarıçapı farklı olsaydı formül nasıl değişirdi?
C: P=\dfrac{\pi r^2}{10\cdot5} olurdu.

S2. $\pi$’yi 3{,}14 alsaydık sonuç ne olurdu?
C: P=\dfrac{2\cdot3{,}14}{25}\approx0{,}2512.

S3. Alan ölçü birimini değiştirmek olasılığı etkiler mi?
C: Birimler oranı değiştirmez; oran birimden bağımsızdır.

S4. Dikdörtgen yerine farklı bir şekil olsaydı ne yapmalıyız?
C: Önce şartlı olay formülüne göre alan oranını hesaplarız.

Bu örnek soruyla ilgili pratik yapmak ister misiniz; örneğin yarıçapı $3,$cm olduğunda olasılığı yeniden hesaplayalım mı?
@Ozlem_Artun