\sum \vec{F_{x}} = 0 A_{x} + 20 - 40 - C_{x} = 0
A_{x} - C_{x} = 20 kN
\sum \vec{F_{y}} = 0 A_{y} + C_{y} = 40 kN
\sum M_{A} = 0 -20 dot 1 - 40 dot 2 - 2 C_{x} + 4 C_{y} = 0
-20 - 80 - 2 C_{x} + 4 C_{y} = 0
4 C_{y} - 2 C_{x} = 100
\sum \vec{F_{x}} = 0 B_{x} - 40 - C_{x} = 0
B_{x} - C_{x} = 40 kN
-20 - 80 - 4 C_{x} + 2 C_{y} = 0
2 C_{y} - 4 C_{x} = 100
-2(2 C_{y} - 4 C_{x} = 100) ımplies -4 C_{y} + 8 C_{x} = -200
-4 C_{y} + 8 C_{x} = -200
6 C_{x} = -100
C_{x} = -16.66 kN
Üç Mafsallı Çerçeve Sisteminde Mesnet ve Mafsal Tepki Kuvvetleri Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Statikçe belirli mafsallı düzlem çerçevelerde denge denklemleri tüm sistem için (\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M = 0) ve iç mafsaldan (B) ayrılan serbest cisim diyagramı için (\sum M_B = 0) uygulanarak mesnet tepkileri belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Yüklerin ve Bileşkelerinin Belirlenmesi
- Sol kolon (A üstü): 2\text{ m} boyunca sağa doğru 10\text{ kN/m} yayılı yük \rightarrow R_1 = 10 \times 2 = 20\text{ kN} (A’dan 1\text{ m} yukarıda).
- Üst kiriş: 4\text{ m} boyunca aşağı doğru 10\text{ kN/m} yayılı yük \rightarrow R_2 = 10 \times 4 = 40\text{ kN} (A’dan 2\text{ m} sağda, B mafsalı hizasında).
- Sağ kolon: 4\text{ m} boyunca sola doğru 10\text{ kN/m} yayılı yük \rightarrow R_3 = 10 \times 4 = 40\text{ kN} (C’den 2\text{ m} yukarıda, A mesnedi ile aynı yatay hizada).
- A mesnedi (0, 2) ve C mesnedi (4, 0) koordinatlarındadır.
Adım 2 — Tüm Sistem İçin A Noktasına Göre Moment Dengesi
Saatin tersi yönü (+) kabul edilerek A noktasına göre moment alınır (R_3 = 40\text{ kN}'luk yatay yükün tesir çizgisi doğrudan A’dan geçtiği için momenti sıfırdır):
\sum M_A = 0 \implies -(20 \cdot 1) - (40 \cdot 2) - 2C_x + 4C_y = 0
-100 - 2C_x + 4C_y = 0 \implies 4C_y - 2C_x = 100 \quad \text{--- (Denklem 1)}
Adım 3 — B-C Sağ Parçası İçin B Mafsalına Göre Moment Dengesi
Sistem B mafsalından ayrılarak sağ parçanın dengesi incelenir:
- B-C kirişindeki yayılı yük: 10 \times 2 = 20\text{ kN} (B’den 1\text{ m} sağda).
- Sağ kolondaki yatay yük: 40\text{ kN} (B’den 2\text{ m} aşağıda).
\sum M_B = 0 \implies -(20 \cdot 1) - (40 \cdot 2) - 4C_x + 2C_y = 0
-100 - 4C_x + 2C_y = 0 \implies 2C_y - 4C_x = 100 \quad \text{--- (Denklem 2)}
Adım 4 — C Mesnet Tepkilerinin Hesaplanması
Denklem (2) ifadesi -2 ile çarpılıp Denklem (1) ile taraf tarafa toplanır:
$$\begin{aligned}
4C_y - 2C_x &= 100 \
-4C_y + 8C_x &= -200 \
\hline
6C_x &= -100 \implies \mathbf{C_x = -\frac{50}{3} \approx -16{,}67\text{ kN}}
\end{aligned}$$
(Negatif işaret, C_x’in seçilen sola doğru yönün aksine sağa doğru olduğunu gösterir.)
C_x değeri Denklem (1)'de yerine yazılır:
4C_y - 2\left(-\frac{50}{3}\right) = 100 \implies 4C_y + \frac{100}{3} = 100
4C_y = \frac{200}{3} \implies \mathbf{C_y = \frac{50}{3} \approx 16{,}67\text{ kN} \ (\uparrow)}
Adım 5 — A Mesnet Tepkilerinin Hesaplanması
Tüm sistemin genel denge denklemleri uygulanır:
\sum F_x = 0 \implies A_x + 20 - 40 - C_x = 0 \implies A_x - C_x = 20
A_x - \left(-\frac{50}{3}\right) = 20 \implies \mathbf{A_x = 20 - \frac{50}{3} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33\text{ kN} \ (\rightarrow)}
\sum F_y = 0 \implies A_y + C_y - 40 = 0
A_y + \frac{50}{3} = 40 \implies \mathbf{A_y = 40 - \frac{50}{3} = \frac{70}{3} \approx 23{,}33\text{ kN} \ (\uparrow)}
CEVAP:
- C_x = -16{,}67\text{ kN} (Başlangıçta sola seçilmişse yönü sağa doğrudur: \mathbf{16{,}67\text{ kN} \rightarrow})
- C_y = 16{,}67\text{ kN} \ (\uparrow)
- A_x = 3{,}33\text{ kN} \ (\rightarrow)
- A_y = 23{,}33\text{ kN} \ (\uparrow)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Tahtadaki çözümde 6C_x = -100 \implies C_x = -16{,}66\text{ kN} adımı tamamen doğrudur. A mesnedi ile sağ koldaki 40\text{ kN}'luk eşdeğer tekil yük aynı kotta (y = 2\text{ m}) yer aldığından, A’ya göre moment alınırken bu yükün dik uzaklığı sıfır olur ve denkleme girmez.