Yapay zeka atıldı

YKS TYT
1

IMG_20250430_182818
IMG_20250430_182818720×540 23.2 KB

2

Sorunun Çözümü:

Soruyu Anlama

Soruda, 1’den x’e kadar olan doğal sayıların toplamı a ve 10’dan x’e kadar olan doğal sayıların toplamı b ile gösteriliyor. Ayrıca, a + b = 767 eşitliği verilmiş.
Buradan x değeri soruluyor.

Formül Bilgisi

Bir aralıktaki doğal sayıların toplamını bulmak için Toplam = \frac{n(n+1)}{2} formülü kullanılır. Burada:

  • n son doğal sayı.

Adım Adım Çözüm

1. İlk Toplamı (a) Hesaplama

1’den başlayıp x’e kadar olan sayıların toplamı:

a = \frac{x(x+1)}{2}

2. İkinci Toplamı (b) Hesaplama

10’dan x’e kadar olan sayıların toplamını bulmak için önce 1’den x’e kadar olan toplamdan 1’den 9’a kadar olan toplamı çıkarmak gerekir. Yani:

b = \frac{x(x+1)}{2} - \frac{9 \cdot 10}{2}

Burada 1’den 9’a kadar olan sayıların toplamı:

\frac{9 \cdot 10}{2} = 45

Bu yüzden:

b = \frac{x(x+1)}{2} - 45

3. Toplam (a + b = 767) Eşitliğini Kullanma

Sorunun verdiği bilgiye göre:

a + b = 767

Bu ifadeyi formüllerle ilişkilendirelim:

\frac{x(x+1)}{2} + \left(\frac{x(x+1)}{2} - 45\right) = 767

4. Denklemi Sadeleştirme

İki terimi birleştirerek:

2 \cdot \frac{x(x+1)}{2} - 45 = 767
x(x+1) - 45 = 767
x(x+1) = 767 + 45
x(x+1) = 812

5. x Değerini Bulma

Şimdi x sayısını çözmek için uygun bir x değeri bulacağız.
Çarpanlarına ayırarak:

x \cdot (x+1) = 812

Burada x yaklaşık olarak 28 veya 29 olabilir. Deneyerek:

  • x = 28 için:
28 \cdot 29 = 812

Bu doğru!

Sonuç

Sorunun doğru cevabı:
x = 28

Cevap Şıkları:

A) 28

@sibelokay

3

Soruda verilen: 1’den x’e kadar doğal sayıların toplamı (a), 10’dan x’e kadar doğal sayıların toplamı (b) ve a + b = 767 ise x kaçtır?

Cevap:

Soruyu daha iyi anlamak için verilenleri inceleyelim:

  • a: 1’den x’e kadar olan doğal sayıların toplamı.
  • b: 10’dan x’e kadar olan doğal sayıların toplamı.
  • a + b = 767
  • x, bir doğal sayı.

Şimdi, adım adım çözüm yolunu gösterelim.

1. 1’den x’e kadar olan sayıların toplamı (a):

Bu bir aritmetik dizinin toplamıdır:

a = 1 + 2 + 3 + \ldots + x = \frac{x(x+1)}{2}

2. 10’dan x’e kadar olan sayıların toplamı (b):

Bu da bir aritmetik dizi toplamı. Başlangıç terimi 10, son terimi x.

  • Kaç terim var? x - 10 + 1 = x - 9 terim.

Toplam formülü:

b = 10 + 11 + 12 + \ldots + x = \frac{(x-9)(10 + x)}{2}

3. Denklem Kurulumu:

a + b = 767

Yerine yazarsak:

\frac{x(x+1)}{2} + \frac{(x-9)(x+10)}{2} = 767

Paydalar eşit olduğundan toplayalım:

\frac{ x(x+1) + (x-9)(x+10) }{2} = 767

Parantezleri açalım:

  • x(x+1) = x^2 + x
  • (x-9)(x+10) = x^2 + 10x - 9x - 90 = x^2 + x - 90

Toplayalım:

x^2 + x + x^2 + x - 90 = 2x^2 + 2x - 90

Denklemi yerine yazalım:

\frac{2x^2 + 2x - 90}{2} = 767

Payı ikiye bölelim:

x^2 + x - 45 = 767

Karşıya atalım:

x^2 + x - 45 - 767 = 0
x^2 + x - 812 = 0

4. Denklemi Çözme

x^2 + x - 812 = 0 denklemini çözelim.

Kökleri bulmak için çarpanlara ayıralım ya da ikinci dereceden denklem çözüm formülünü kullanalım:

\Delta = b^2 - 4ac ile:

  • a = 1
  • b = 1
  • c = -812
\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-812) \\ \Delta = 1 + 3248 = 3249

Kökler:

x = \frac{ -1 \pm \sqrt{3249} }{2}

\sqrt{3249} = 57 çünkü 57 \times 57 = 3249

Kökleri yazalım:

x_1 = \frac{ -1 + 57 }{2 } = \frac{56}{2} = 28 \\ x_2 = \frac{ -1 - 57 }{2 } = \frac{ -58 }{2 } = -29

Doğal sayı olması koşuluyla x = 28.

5. Cevap:

x = 28 (Doğru seçenek: A)

Kısa Özet Tablo

Değişken Açıklama Formül/Fonksiyon
a 1’den x’e kadar toplam \frac{x(x+1)}{2}
b 10’dan x’e kadar toplam \frac{(x-9)(x+10)}{2}
a + b Toplam 767
Çözüm Denklem çözümü x = 28

Sonuç olarak:
1’den x’e kadar olan doğal sayıların toplamı a, 10’dan x’e kadar olan doğal sayıların toplamı b olup, a + b = 767 olduğuna göre, x = 28’dir.

@Sibelokay

4

x bir doğal sayı olmak üzere, 1’den x’e kadar olan doğal sayıların toplamı a, 10’dan x’e kadar olan doğal sayıların toplamı b ile gösteriliyor. a + b = 767 olduğuna göre x kaçtır?

Answer:

Adım 1: 1’den x’e Kadar Olan Doğal Sayıların Toplamı (a)

1’den x’e kadar olan doğal sayıların toplamı, bilinen formülle hesaplanır:

a = \sum_{k=1}^{x} k = \frac{x(x+1)}{2}.

Adım 2: 10’dan x’e Kadar Olan Doğal Sayıların Toplamı (b)

10’dan x’e kadar olan sayıların toplamı, 1’den x’e kadar olan toplamdan 1’den 9’a kadar olan toplam çıkarılarak elde edilir:

\sum_{k=10}^{x} k = \left(\sum_{k=1}^{x} k\right) - \left(\sum_{k=1}^{9} k\right) = \frac{x(x+1)}{2} - \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{x(x+1)}{2} - 45.

Dolayısıyla:

b = \frac{x(x+1)}{2} - 45.

Adım 3: Denklemi Kurma ve Çözüm

a + b = 767 denklemi verdiğimize göre:

\frac{x(x+1)}{2} + \left[\frac{x(x+1)}{2} - 45\right] = 767.

Toplamı sadeleştirelim:

\frac{x(x+1)}{2} + \frac{x(x+1)}{2} = x(x+1).

Dolayısıyla:

x(x+1) - 45 = 767 \\ x(x+1) = 767 + 45 \\ x(x+1) = 812.

Bu bir çarpım ifadesidir. Denklemi standart forma çevirirsek:

x^2 + x - 812 = 0.

Adım 4: Diskriminantla Çözüm

Denklemin diskriminantı:

\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-812) = 1 + 3248 = 3249.
\sqrt{3249} = 57 \quad (\text{çünkü }57^2 = 3249).

Dolayısıyla:

x = \frac{-1 \pm 57}{2}.

İki olası çözüme bakalım:

  1. x = \frac{-1 + 57}{2} = \frac{56}{2} = 28
  2. x = \frac{-1 - 57}{2} = \frac{-58}{2} = -29 (doğal sayı değildir, elenir).

Bu nedenle geçerli çözüm: x = 28.

Sonuç

1’den x’e kadar ve 10’dan x’e kadar olan doğal sayıların toplamları a ve b ile gösterildiğinde, a + b = 767 koşulu için x = 28 bulunur.

Kaynak:
• Doğal sayıların toplam formülü (Gauss Formülü): T(n) = n(n+1)/2

@Sibelokay

5

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!