Soru: Bir barajın su depolama kapasitesinin zamana bağlı değişimi ile ilgili sorular
Grafikte verilen f fonksiyonu:
f(x)=-10000x + b,\quad x\in[0,20]
burada
- (x) = zaman (yıl)
- (f(x)) = barajın o yılın sonunda kalan su depolama kapasitesi (m³)
- (b) = baştaki (x=0’daki) kapasite (m³)
Grafikte (f(20)=0) olduğu için
$
-10000\cdot20 + b = 0
)\
denkleminden
(b=200,000) m³ bulunur.
Cevaplar
a) Barajın en fazla su depolama kapasitesi
- Bu değer (x=0) anındaki (f(0)=b) değeriyle aynı olur.
- Dolayısıyla en fazla kapasite = 200 000 m³.
b) Barajın en az kapasitesi hangi yılın sonunda?
- (f(x)) fonksiyonu 0’dan az olamayacağı için en düşük değer (f(20)=0) anında gerçekleşir.
- Yani 20. yılın sonunda kapasite en azdır.
c) Su depolama kapasitesinin zamana bağlı değişim oranı
- Doğrusal fonksiyonun sabiti olan eğim ((m)) burada (-10000).
- Bir yılda kapasite 10 000 m³ azalır.
- Yani değişim oranı (-10 000) m³/yıl.
Özet Tablosu
| Soru | Sonuç | Birim |
|---|---|---|
| a) Maksimum kapasite | 200 000 | m³ |
| b) En düşük kapasite zamanı | 20. yılın sonunda | – |
| c) Değişim oranı (eğim) | (-10,000) | m³/yıl |
Görüntüdeki soruyu çözünüz: Bir barajın su depolama kapasitesi f(x) = −10000x + b (x ∈ [0,20]) verilmiş. Buna göre (a) en fazla kaç m³, (b) hangi yılın sonunda en az olur, (c) değişim oranı nedir?
Answer:
Öncelikle grafikte verilen doğrusal fonksiyon:
f(x) = -10000x + b
ve tanım aralığı x \in [0,20] olarak verilmiştir. Grafikte x=0 noktasında kapasite b ve x=20 noktasında kapasite 0 olacak şekilde gösterildiği için b değerini bulmalıyız.
Adım adım çözüm:
- Grafikten ve verilen bilgiye göre x=20 yılında su depolama kapasitesi 0 m³ olduğuna göre fonksiyonda x=20 koyunca:
f(20) = -10000\cdot 20 + b = 0
Buradan b için:
-200000 + b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 200000
Yani başlangıçtaki (x=0) maksimum kapasite b = 200000 m³’tür.
Not: Görüntüde y ekseni “(x1000 m³)” olarak işaretlenmiş olabilir; bu tür işaretleme bazen grafiğin birim ölçeğini belirtir. Ancak fonksiyonun katsayısı ve f(20)=0 şartından doğrudan b=200000 m³ sonucu çıkar. Eğer y ekseni gerçekten “bin m³” cinsinden okunacak şekilde yorumlanıyorsa, o zaman grafik üzerindeki b değeri 200 (bin m³) = 200\cdot1000=200000 m³ ile aynı anlamdadır. Sonuç: kapasite 200000 m³.
- Fonksiyonun tanım aralığı [0,20] verilmiş olup doğrusal fonksiyon azalan (katsayı negatif) olduğu için en büyük değer x=0'da, en küçük değer ise x=20'de alınır. Dolayısıyla:
- Barajın su depolama kapasitesinin en az olduğu yılın sonu: 20. yılın sonunda (yani x=20).
- Değişim oranı (fonksiyonun eğimi / birim zamandaki değişim miktarı):
Fonksiyon f(x) = -10000x + 200000 olduğuna göre eğim (sabit değişim oranı) -10000 m³/yıl’dır. Yani:
- Her yıl kapasite 10000 m³ azalır.
(Eğer grafikteki dikey birim “bin m³” olarak okunuyorsa, değişim oranı -10000 m³/yıl = -10 (bin m³)/yıl şeklinde de ifade edilebilir.)
Özet (kısa ve net cevaplar):
a) Maksimum kapasite: 200000 m³ (x=0’da)
b) En az kapasite: 20. yılın sonunda (x=20’de kapasite 0 m³)
c) Değişim oranı: −10000 m³/yıl (yani yılda 10000 m³ azalır; bin m³ cinsinden −10 bin m³/yıl)
Ayrıntılı Hesap Adımları
- f(20)=0 şartı ile
-10000\cdot 20 + b = 0 - -200000 + b = 0 \Rightarrow b = 200000
- Maksimum: f(0)=b=200000 m³.
- Minimum (tanım aralığı içinde): f(20)=0 m³.
- Eğimi doğrudan katsayıdan okuruz: m=-10000 yani değişim -10000 m³/yıl.
Tablo: Hızlı Özet
| Soru | Sonuç | Açıklama |
|---|---|---|
| a) Maksimum kapasite | 200000 m³ | f(0)=b=200000 |
| b) En az olduğu yılın sonu | 20. yıl | f(20)=0, tanım aralığı [0,20] |
| c) Değişim oranı | −10000 m³ / yıl (veya −10 bin m³ / yıl) | Fonksiyonun eğimi -10000 |
Özetle: Başlangıç kapasitesi 200000 m³, 20 yıl sonunda kapasite 0 m³, yıllık azalma 10000 m³ dir. Eğer istersen grafik üzerinde aynı değerleri gösteren küçük bir tablo veya yıllara göre kapasite listesi de hazırlayayım. @Mehmet_Kaygusuz