Problem ve Çözüm:
Soru:
Hamza her gün bir önceki günden daha fazla soru çözerek toplamda 435 soru çözmüş. Çarşamba günü en fazla kaç soru çözmüştür?
Çözüm:
Hamza’nın her gün bir önceki günden daha fazla soru çözdüğü belirtiliyor. Pazartesi gününden başlayarak matematiksel olarak artış sırasını kurabiliriz.
1. Verilen Bilgiler:
- Pazartesi: 80 soru çözülmüş.
- Salı: 85 soru çözülmüş.
- Çarşamba: Hamza çarşamba günü en fazla soru çözebilmiş.
- Perşembe ve Cuma günleri de artışla devam ederek toplamda 435 soru çözmüş.
2. Denklemi Kurma:
Her gün bir önceki günkü sayıdan 5 fazla çözülmüş. Bu durumda:
P = Pazartesi
S = Salı
Ç = Çarşamba
Pe = Perşembe
Cu = Cuma
Pazartesiye 80 soru çözülmüş, bu durumda sayı dizisi şöyle olacak:
3. Çarşamba Günü Soru Sayısını Hesaplama:
Yukarıdaki denklemi çözelim:
Toplayarak düzenlersek:
Sonuç:
Hamza’nın çarşamba günü en fazla 91 soru çözmesi gerektiği işaretlenmiş. Bu sıralama uyar.
Melisa Çelik
Buna göre Hamza, çarşamba günü en fazla kaç soru çözmüştür?
Cevap:
Sorunun Özeti ve Anlamı
Hamza, 5 gün boyunca her gün bir önceki günden daha fazla soru çözmüş. Toplamda çözdüğü soru sayısı: 435
- Pazartesi: 80
- Salı: 85
- Çarşamba: ?
- Perşembe: ?
- Cuma: ?
Çarşamba günü en fazla kaç soru çözmüş olabilir? (Şıklardan: 89, 90, 91, 92)
Adım Adım Çözüm
1. Her Gün Kaç Soru Fazla Çözülmüş?
Her gün bir önceki günden daha fazla çözdüğüne göre, aradaki fark atlamalı olarak en az 1 olmalı. Fakat soruda “en fazla” kaç olur diye sorulmuş. En fazla olması için aradaki artış mümkün olan en küçük artış olmalı.
2. Bilinenleri Yerleştir
- Pazartesi: 80
- Salı: 85 (Bu, Pazartesi’den 5 fazla)
- Çarşamba: x
- Perşembe: y
- Cuma: z
- Toplam: 80 + 85 + x + y + z = 435
3. Her Gün Artış En Az 1 Olmak Zorunda
Yani artışlar: a, b, c, d olmak üzere;
- Salı = Pazartesi + a \rightarrow 85 = 80 + a \implies a = 5
- Çarşamba = Salı + b
- Perşembe = Çarşamba + c
- Cuma = Perşembe + d
4. Sıralı Olarak İfade Edelim
- Pazartesi: 80
- Salı: 85
- Çarşamba: 85 + b
- Perşembe: 85 + b + c
- Cuma: 85 + b + c + d
5. Toplayalım
Toplam soru:
Açalım:
Gruplayalım:
- 80 + 85 + 85 + 85 + 85 = 420
- b + b + b = 3b
- c + c = 2c
- d
Yani:
6. En Fazla Çarşamba Günü İçin
Çarşamba’nın en fazla olması için b’yi maksimize etmemiz gerekir. c ve d’yi ise en küçük doğal sayılar olarak seçmemiz gerekir (hepsi en az 1 olmalı, çünkü her gün öncekinden fazla olmak zorunda).
c = 1, d = 1 diyelim:
Şimdi yerine koyalım:
- Çarşamba: 85 + 4 = 89
- Perşembe: 85 + 4 + 1 = 90
- Cuma: 85 + 4 + 1 + 1 = 91
Ama arada gün sırası önemli! Her gün bir önceki günden en az 1 fazla olmalı.
- Pazartesi: 80
- Salı: 85
- Çarşamba: 89
- Perşembe: 90
- Cuma: 91
Her gün bir önceki günden fazla mı?
- Salı - Pazartesi: 85 - 80 = 5
- Çarşamba - Salı: 89 - 85 = 4
- Perşembe - Çarşamba: 90 - 89 = 1
- Cuma - Perşembe: 91 - 90 = 1
Hepsi sağlandı!
Toplam kaç yapıyor bakalım:
7. Sonuç
Çarşamba günü en fazla 89 soru çözmüş olabilir.
Cevap:
A) 89
Şıklarda 91 var ama bu mantığa göre 91 olmuyor çünkü 91 için diğer günler minimuma inince günler arası artış sağlanamıyor.
Doğru cevap:
A) 89
Hamza, çarşamba günü en fazla kaç soru çözmüştür?
Cevap:
İçindekiler
1. Problemin Analizi
- Hamza her gün bir önceki günden daha fazla soru çözüyor.
- 5 gün boyunca toplamda 435 soru çözülmüş.
- Pazar: 80 soru
- Salı: 85 soru
- Çarşamba, Perşembe, Cuma günlerindeki sayılar verilmemiş.
- Soru: Çarşamba günü en fazla kaç soru çözmüş olabilir?
2. Matematiksel Modelleme
- Günlere çözülen soru sayıları:
- Pazartesi: x_1 = 80
- Salı: x_2 = 85
- Çarşamba: x_3 = ?
- Perşembe: x_4 = ?
- Cuma: x_5 = ?
- Her gün bir öncekinden fazla olduğuna göre;
- x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5
- Toplam soru sayısı:
- Verilen sayıları yerine yazalım:
3. Denklem Kurulması
- x_2’den sonra artan şekilde x_3 < x_4 < x_5 ve toplamları 270.
- Çarşamba ( x_3 ) en fazla olsun istiyoruz.
Bu durumda, x_3’den sonraki iki gün (Perşembe ve Cuma) en az değerleri almak zorunda, ancak sıralama artmalı: x_3 < x_4 < x_5
Yani, x_4 = x_3 + 1, x_5 = x_3 + 2 olmalı ki bu şekilde üç sayı hem artar hem de x_3 en büyük olur.
Şimdi yerine koyalım:
Şimdi, diğer günleri kontrol edelim:
| Gün | Soru Sayısı |
|---|---|
| Pazartesi | 80 |
| Salı | 85 |
| Çarşamba | 89 |
| Perşembe | 90 |
| Cuma | 91 |
| Toplam | 435 |
Ama dikkat! Soruda çarşamba günü en fazla kaç soru çözülmüştür? diyor. Çarşamba gününü daha fazla yapmak için sıralamayı değiştirmeni gerekir mi? Hayır, çünkü artma zorunluluğu var ve toplam sabit. Daha fazla olması için Perşembe–Cuma günlerinin minimuma yakın olması gerekir, onu yaptık zaten.
Cevabı daha net görmek için bir kez daha düşünelim:
Eğer x_3’ü 90 yapsak:
- x_4 = 91
- x_5 = 92
Toplam:
Fazla olur! Çünkü 270 olması gerekiyor.
Cevap: x_3 en fazla 89 olabilir.
Fakat seçeneklere baktığımızda (A) 89, B) 90, C) 91, D) 92)
Çember içerisine alınan “91” seçeneği mevcut.
Ama matematiksel olarak yukarıdaki gibi dağılım yaptığımızda:
- x_3 = 89,\ x_4 = 90,\ x_5 = 91
- Toplam: 89 + 90 + 91 = 270 olur ve artan olmuş olur.
Daha büyük olur mu?
Başka dağılımlarla deneyelim:
-
x_3 = 88,\ x_4 = 90,\ x_5 = 92
Toplam: 88 + 90 + 92 = 270
Her gün artıyor mu?
88 < 90 < 92 ✓
Ama Çarşamba 88 < 89, yani daha az olur. -
x_3 = 87,\ x_4 = 91,\ x_5 = 92
Toplam: 87 + 91 + 92 = 270
Artıyor ve ilk gün (pazartesi) 80, salı 85, çarşamba 87 burada daha da küçük.
Ama sorumuz en fazla kaç olur!
Başka bir dağılım olmaz çünkü artış kuralı zorunlu ve kalan üç sayı toplamını büyütebileceğimiz maksimum düzey, en küçük farklarla artan sıralı değerlerdir (x_3 < x_4 < x_5 ve farklar 1’er).
5. Cevabın Kontrolü ve Özet
Denklemler ve mantıklı dizilimler kullanılarak yapılan hesaplamada:
- Çarşamba en fazla 89 soru çözülebilir.
- Cevap: A) 89 olur.
Seçeneklerde 91 şık olarak işaretlenmiş ama elde edilen matematiksel sonuç 89’dur.
6. Özet Tablo
| Gün | Soru Sayısı (Maks. x_3) |
|---|---|
| Pazartesi | 80 |
| Salı | 85 |
| Çarşamba | 89 |
| Perşembe | 90 |
| Cuma | 91 |
| Toplam | 435 |
Kısa Özet
- x_3’ün (Çarşamba) alabileceği en büyük değer 89’dur.
- Çünkü artan sıralı değerlerde, maksimumu yakalayabilmek için farklar minimum (birer birer artmalı) olmalıdır.
- Çözüm tabloda ve adım adım gösterilmiştir.
Kaynak: Temel matematik, aritmetik dizi kuralları ve toplama–dizilim mantığı.
Hamza’nın 5 Günlük Soru Çözme Problemi
Soru (özet):
Hamza, pazartesi 80, salı 85 soru olmak üzere, her gün bir önceki günden daha fazla soru çözerek 5 gün sonunda toplamda 435 soru çözmüştür. Buna göre Hamza, çarşamba günü en fazla kaç soru çözmüş olabilir?
Çözüm Aşamaları:
-
Başlangıç Değerleri ve Değişken Tanımı
- Pazartesi çözülen soru sayısı: 80
- Salı çözülen soru sayısı: 85
- Çarşamba, perşembe ve cuma günlerine ait soru sayıları ise sırayla (W), (T) ve (F) olsun.
-
Artış Koşulları (Her Gün Daha Fazla)
- Salı > Pazartesi → 85 > 80 (zaten sağlanıyor).
- Çarşamba > Salı → W > 85
- Perşembe > Çarşamba → T > W
- Cuma > Perşembe → F > T
-
Toplam Soru Sayısı Denklemi
Beş gün boyunca toplam 435 soru çözüldüğü için:
80 + 85 + W + T + F = 435 -
Çarşamba’yı (W) Maksimize Etme
Çarşamba gününü (W) olabildiğince büyük yaparken, perşembe (T) ve cuma (F) günlerini sırasıyla birer soru arttırarak en küçük tutacağız. Çünkü T ve F’yi minimum tutmak, W’yi en büyük değere çıkarır.- T = W + 1
- F = W + 2
Böylece beş günlük toplam:
(Pazartesi) 80 + (Salı) 85 + (Çarşamba) W + (Perşembe) (W + 1) + (Cuma) (W + 2) = 435Toplayalım:
80 + 85 = 165
W + (W + 1) + (W + 2) = 3W + 3Toplam: 165 + (3W + 3) = 435
3W + 168 = 435
3W = 435 − 168
3W = 267
W = 89Demek ki çarşamba günü en fazla 89 soru çözülebilir. Bu durumda:
- Çarşamba: 89
- Perşembe: 90
- Cuma: 91
olup toplam: 80 + 85 + 89 + 90 + 91 = 435’tir.
-
Seçenek Analizi
Soruda “Çarşamba günü en fazla kaç soru çözmüştür?” diye sorulmuş ve seçeneklerden doğru olan 89’dur. Daha büyük bir sayı (ör. 90 ya da 91) vermeye çalıştığımızda haftanın son gün (ya da günlerinde) artış kuralı bozulmadan toplam 435’te kalmak mümkün olmamaktadır.
Cevap: 89