- Bir kurumun yaptığı yazılı sınavda yalnızca Matematik, Türkçe, Sosyal Bilgiler ve Genel Kültür alanlarından sorular sorulmaktadır. Sınavdaki soruların alanlara göre sayica dağılımı Şekil 1’deki daire grafiğinde, bu sınava katılan Adnan’ın her bir alan için o alandaki doğru cevapladığı soru sayısının o alandaki toplam soru sayısına oranı yüzde olarak Şekil 2’deki sütun grafiğinde gösterilmiştir.
Şekil 1
Şekil 2
Yanlışın doğruyu götürmediği bu sınavda Adnan’ın doğru cevaplarının toplam sayısı 64 olduğuna göre, sınavda toplam kaç soru sorulmuştur?
(Daire grafiğindeki renkler ile sütun grafiğindeki renkler uyumludur.)
A) 90 B) 120 C) 150 D) 160 E) 180
Sınavdaki Toplam Soru Sayısının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Daire Grafiğinde Açı-Oran Bağıntısı: \text{Bölümün Soru Sayısı} = \text{Toplam Soru Sayısı} \times \frac{\alpha}{360^\circ}
- Doğru Sayısı Formülü: \text{Doğru Sayısı} = \text{Alan Soru Sayısı} \times \frac{\text{Doğru Yüzdesi}}{100}
- Toplam Doğru Sayısı: \sum \text{Alan Doğru Sayıları} = 64
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Daire Grafiğindeki Merkez Açıların Belirlenmesi
Grafikteki doğrusal hat (çap) daireyi iki eşit 180^\circ’lik yarım daireye böler:
- Matematik açısı = 120^\circ verildiğinden, üst yarım daireyi tamamlayan Genel Kültür açısı:180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
- Alt yarım dairede Sosyal Bilgiler dik açı (90^\circ) olarak verildiğinden, Türkçe açısı:180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
Daire grafiğindeki tüm alanların merkez açıları:
- Matematik: 120^\circ
- Genel Kültür: 60^\circ
- Sosyal Bilgiler: 90^\circ
- Türkçe: 90^\circ
Adım 2 — Sınavdaki Toplam Soru Sayısına (N) Bağlı Olarak Soru Dağılımının Yazılması
Sınavdaki toplam soru sayısına N diyelim:
- Matematik Soru Sayısı: N \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{N}{3}
- Genel Kültür Soru Sayısı: N \times \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{N}{6}
- Sosyal Bilgiler Soru Sayısı: N \times \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{N}{4}
- Türkçe Soru Sayısı: N \times \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{N}{4}
Adım 3 — Her Alan İçin Doğru Sayılarının Hesaplanması
Sütun grafiğindeki başarı yüzdeleri kullanılarak Adnan’ın doğru sayıları bulunur:
- Matematik Doğrusu (\%40):\frac{N}{3} \times \frac{40}{100} = \frac{2N}{15}
- Genel Kültür Doğrusu (\%75):\frac{N}{6} \times \frac{75}{100} = \frac{N}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{N}{8}
- Sosyal Bilgiler Doğrusu (\%50):\frac{N}{4} \times \frac{50}{100} = \frac{N}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{N}{8}
- Türkçe Doğrusu (\%60):\frac{N}{4} \times \frac{60}{100} = \frac{N}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3N}{20}
Adım 4 — Toplam Doğru Sayısı Denkleminin Kurulması ve Çözümü
Toplam doğru sayısı 64’e eşittir:
\text{Toplam Doğru} = \frac{2N}{15} + \frac{N}{8} + \frac{N}{8} + \frac{3N}{20} = 64
Benzer terimleri birleştirelim:
\frac{N}{8} + \frac{N}{8} = \frac{N}{4}
\frac{2N}{15} + \frac{3N}{20} + \frac{N}{4} = 64
Paydaları 60’ta eşitleyelim (15 \times 4, 20 \times 3, 4 \times 15):
\frac{4 \times 2N + 3 \times 3N + 15 \times N}{60} = 64
\frac{8N + 9N + 15N}{60} = 64
\frac{32N}{60} = 64
Sadeleştirme yapıldığında (\frac{32}{60} = \frac{8}{15}):
\frac{8N}{15} = 64
8N = 64 \times 15
N = 8 \times 15 = 120
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 120
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Daire Grafiği Orantısı
- Tanım: Bir veri grubundaki parçaların bütüne oranını 360^\circ’lik açı dilimleriyle gösteren grafik türüdür.
- Bu problemde: 360^\circ toplam soru sayısını temsil eder ve açıların sadeleştirilmesiyle alanların soru sayıları kesir olarak ifade edilmiştir.
2. Yüzde Problemleri ve Bileşik Oran
- Tanım: Bir miktarın belirli bir yüzdesini bulmak için o miktar \frac{\text{Yüzde}}{100} ile çarpılır.
- Bu problemde: Her alandaki doğru sayısı, o alanın soru adedi ile başarı yüzdesinin çarpımıyla elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yüzdeleri Doğrudan Toplamak
- Yanlış: Yüzdeleri toplayıp (40 + 60 + 50 + 75 = 225) doğrudan toplam soruya oranlamaya çalışmak.
- Doğru: Her alanın toplam sınav içindeki ağırlığı (soru sayısı) farklı olduğundan, yüzdeler her alanın kendi soru sayısı üzerinden ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
- Neden yanlış: Ağırlıklı ortalama kurallarına aykırıdır; soru sayıları eşit olmadığında yüzdeler doğrudan toplanamaz.
Bu soru tipini pekiştirmek için benzer bir grafik ve yüzde problemi çözmemi ister misin?