Yanıtla

YKS TYT
,
1

images (4)
images (4)240×146 1.64 KB

2

Soruyu çözelim:

Soru şu şekilde verilmiş:

\frac{(n+2)!(3n+2)!}{n!(3n+3)!} = \frac{7}{3}

Buna göre n’yi bulacağız.

Adım Adım Çözüm

Adım 1: Faktöriyel ifadeyi düzenleyelim

Faktöriyel ifadeleri, genişlemelerle sadeleştirebiliriz.

  1. (3n+3)! ifadesi:

    (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)!

    Bu ifadeyi yerine koyarak sadeleştirme yapacağız.

  2. (n+2)! ifadesi:

    (n+2)! = (n+2)(n+1)n!

Bu düzenlemelerden sonra ifade şu hale gelir:

\frac{(n+2)(n+1)n!(3n+2)!}{n!(3n+3)(3n+2)!}

Adım 2: Faktöriyel ifadeleri sadeleştirme

n! ve (3n+2)! ortak çarpan olduğu için sadeleşir:

\frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3}

Adım 3: Denklemi yeniden düzenleme

Şimdi açık ifadeyi düzenleyelim:

\frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3}

Her iki tarafı 3(3n+3) ile çarpalım:

3(n+2)(n+1) = 7(3n+3)

Parantezleri açalım:

3(n^2 + 3n + 2) = 21n + 21
3n^2 + 9n + 6 = 21n + 21

Adım 4: Denklemi standart forma getirme

Tüm terimleri bir tarafa alalım:

3n^2 + 9n + 6 - 21n - 21 = 0
3n^2 - 12n - 15 = 0

Adım 5: Denklemde sadeleştirme ve çözüm

Denklemi sadeleştirmek için her terimi 3’e bölelim:

n^2 - 4n - 5 = 0

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:

(n-5)(n+1) = 0

Buradan iki kök elde ederiz:

n = 5 \quad \text{ve} \quad n = -1

Adım 6: Uygun kökü seçme

Faktöriyel tanımı gereği n doğal bir sayı olmalıdır. Bu nedenle n = -1 olamaz.

Bu durumda:

n = 5

Final Cevap

n = 5

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Faktöriyel düzenleme (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)!, (n+2)! düzenlenmesi Sadeleştirme yapıldı
Sadeleştirme Faktöriyel ifadeler sadeleştirildi \frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3}
Çarpma ve parantez açma 3(n^2 + 3n + 2) = 21n + 21 3n^2 - 12n - 15 = 0
Çarpanlara ayırma n^2 - 4n - 5 = 0 (n-5)(n+1) = 0
Uygun kök seçimi n = 5 \quad ve \quad n = -1 n = 5 seçildi

Doğru cevap: C) 5

@Tk6

3

(n+2)!(3n+2)! / [n!(3n+3)!] = 7/3 olduğuna göre n kaçtır?

Cevap: Aşağıdaki adım adım çözümle bu denklemde n’in 5 olduğunu göreceğiz.

İçindekiler

  1. Sorunun İncelenmesi
  3. Denklemin Sadeleştirilmesi
  4. Adım Adım Çözüm
  5. Faktöriyellerin Açılması
  6. Ortak Terimlerin Sadeleştirilmesi
  7. Eşitliği Çözme
  8. Özet Tablo
  9. Sonuç ve Özet

1. Sorunun İncelenmesi

Verilen ifade:
$
\frac{(n+2)!,(3n+2)!}{n!,(3n+3)!} ;=; \frac{7}{3}.
$
Bu denklemde n pozitif bir tam sayı olduğundan ve şıklarda (3, 4, 5, 6, 7) gibi değerler verildiğinden, amaç bu ifadeyi önce sadeleştirmek ve matematiksel olarak uygun kökü bulmaktır.

2. Faktöriyel Kavramı

Bir tam sayı k için k!, $k$’den 1’e kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına denir:
$
k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \dots 2 \cdot 1.
$

Örneğin:

  • 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.
  • (k+1)! = (k+1) \cdot k! şeklinde de açılım yapılarak sadeleştirmeler sağlanabilir.

3. Denklemin Sadeleştirilmesi

Denklemdeki (3n+3)! ve (n+2)! gibi terimleri, faktöriyel tanımı üzerinden parçalayıp sadeleştirebiliriz. Amaç, ortak faktöriyel terimlerini pay ve paydada birbirine karşılık getirerek ifadedeki çarpım ve bölmeleri basitleştirmektir.

4. Adım Adım Çözüm

4.1 Faktöriyellerin Açılması

  • (n+2)! = (n+2)\,(n+1)\,n!
  • (3n+3)! = (3n+3)\,(3n+2)!

4.2 Ortak Terimlerin Sadeleştirilmesi

Denklemin payı ve paydası:
$
\frac{(n+2)!,(3n+2)!}{n!,(3n+3)!}
= \frac{(n+2)(n+1)n!, (3n+2)!}{n!,(3n+3),(3n+2)!}.
$
Burada n! ve (3n+2)! terimleri sadeleşir. Sonuçta:
$
= \frac{(n+2)(n+1)}{(3n+3)}.
$

4.3 Eşitliği Çözme

Artık denklemimiz şu hale geldi:
$
\frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3}.
$
Bu eşitliği çözelim:

  1. \displaystyle (n+2)(n+1) = \frac{7}{3} \cdot (3n+3)
  2. Solda (n+2)(n+1) = n^2 + 3n + 2.
  3. Sağda \frac{7}{3} \cdot (3n+3) = 7 \cdot \frac{3n+3}{3} = 7(n+1).

Dolayısıyla denklemi netleştirelim:
$
n^2 + 3n + 2 = 7(n+1).
$
4. Sağ tarafı açalım:
$
n^2 + 3n + 2 = 7n + 7.
$
5. Tüm terimleri bir tarafa toplayarak:
$
n^2 + 3n + 2 - 7n - 7 = 0
$
$
n^2 - 4n - 5 = 0.
$
6. Bu ikinci dereceden denklemin çözümü:
$
n^2 - 4n - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad (n - 5)(n + 1) = 0.
$
Yani n=5 veya n=-1. Faktöriyel ve verilen şıklar açısından pozitif bir tam sayı olmalı; ayrıca şıklar arasında da 5 bulunmaktadır. Dolayısıyla n = 5 geçerli çözümdür.

5. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç/Eşitlik
1. Faktöriyelleri Açma (n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)! Sadeleştirmeye hazırlanır
2. Sadeleştirme Ortak (n!) ve (3n+2)! terimleri pay-paydada elenir \frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} elde edilir
3. Eşitliği Kurma \frac{(n+2)(n+1)}{3n+3} = \frac{7}{3} Denklem basitleşir
4. Denklem Çözümü n^2 - 4n - 5 = 0, kökler: n=5 veya n=-1 Pozitif tamsayı olarak n=5 seçilir

6. Sonuç ve Özet

Bu problemde, faktöriyel ifadelerini açıp ortak terimleri sadeleştirdik. Ardından kalan basit rasyonel denklemi çözdüğümüzde, n = 5 sonucuna ulaştık. Verilen şıklar arasında da 5 mevcut olduğu için doğru cevap 5’tir.

@Tk6