Yandaki şekilde verilen ABCD dörtgeninde
[AC] perp [BD], |AB| = 10 cm
|AD| = 5 cm , |BC| = 15 cm
ve |DC| = x cm
olduğuna göre x değeri kaç cm’dir?
A) 3\sqrt{6}
B) 4\sqrt{6}
C) 5\sqrt{6}
D) 6\sqrt{6}
E) 7\sqrt{6}
[AC] \perp [BD]
|BE| = |EC|, |AF| = |FD|
|GE| = 1 cm
|GF| = 3 cm
|CD| = 5 cm ve
|AB| = x cm
A) \sqrt{10}
B) 2\sqrt{3}
C) \sqrt{14}
D) \sqrt{15}
E) 4
Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgenlerde Kenar Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Köşegenleri birbirine dik olan bir dışbükey dörtgende, karşılıklı kenarların uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir:
|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2
Ayrıca bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).
ÇÖZÜM ADIMLARI
17. Sorunun Çözümü:
Adım 1 — Teoremin Uygulanması
Şekilde [AC] \perp [BD] verildiğinden karşılıklı kenarların kareleri toplamı kuralı uygulanır:
|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2
Adım 2 — Değerlerin Yerine Yazılması ve x’in Hesaplanması
Verilen |AB| = 10\text{ cm}, |AD| = 5\text{ cm}, |BC| = 15\text{ cm} ve |DC| = x\text{ cm} değerleri denklemde yerine konur:
10^2 + x^2 = 15^2 + 5^2
100 + x^2 = 225 + 25
x^2 = 250 - 100 = 150 \implies x = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}\text{ cm}
17. SORUNUN CEVABI: C) 5\sqrt{6}
18. Sorunun Çözümü:
Adım 1 — Muhteşem Üçlü Kuralı ile Kenar Uzunluklarının Bulunması
Köşegenlerin kesişim noktası G olup m(\widehat{BGC}) = m(\widehat{AGD}) = 90^\circ’dir.
- \widehat{BGC} dik üçgeninde [GE] hipotenüse ait kenarortay olduğundan:
|BC| = 2 \cdot |GE| = 2 \cdot 1 = 2\text{ cm}
- \widehat{AGD} dik üçgeninde [GF] hipotenüse ait kenarortay olduğundan:
|AD| = 2 \cdot |GF| = 2 \cdot 3 = 6\text{ cm}
Adım 2 — Karşılıklı Kenar Kareleri Bağıntısı ile x’in Hesaplanması
[AC] \perp [BD] olduğundan:
|AB|^2 + |CD|^2 = |AD|^2 + |BC|^2
x^2 + 5^2 = 6^2 + 2^2
x^2 + 25 = 36 + 4
x^2 = 40 - 25 = 15 \implies x = \sqrt{15}\text{ cm}
18. SORUNUN CEVABI: D) \sqrt{15}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde dik üçgenlerin hipotenüsüne inen kenarortaylar verilmişse ilk olarak muhteşem üçlü yardımıyla ana kenarlara geçilmeli, ardından karşılıklı kenar kareleri toplamı eşitliği kurulmalıdır.