- Yandaki şekilde verilen ABCD dörtgeninde A , E , F noktaları doğrusal; [BE] ve [AF sırasıyla widehat{ABC} ve widehat{DAB} açılarının açıortayı; m(widehat{ADC}) = 80^irc , m(widehat{BEF}) = 70^irc ve m(widehat{BCD}) = x olduğuna göre x kaç derecedir?
A) 150
B) 140
C) 130
D) 120
E) 110 - Yandaki şekilde verilen ABCD dörtgeninde B , E , F noktaları doğrusal, [BF ve [ED] sırasıyla ABC ve ADC açılarının açıortayıdır. m(widehat{BAD}) = 60^irc , m(widehat{BCD}) = 90^irc olduğuna göre DEF açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
Dörtgende Açıortay Bağıntıları ve Açı Hesaplama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Komşu İki Açıortay Kuralı: Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortayları arasındaki açı, diğer iki açının toplamının yarısına eşittir veya üçgende bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olması kuralı (\alpha_{\text{dış}} = a + b) kullanılır.
- Karşıt İki Açıortay Kuralı: Bir dörtgende karşılıklı iki iç açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir:
\alpha = \frac{|m(\widehat{C}) - m(\widehat{A})|}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI
15. Sorunun Çözümü
Adım 1 — \triangle ABE Üçgeninde Dış Açı Analizi
[AF] ve [BE] sırasıyla A ve B köşelerinin açıortayı olduğundan m(\widehat{EAB}) = \frac{m(\widehat{A})}{2} ve m(\widehat{EBA}) = \frac{m(\widehat{B})}{2} olur. A, E, F noktaları doğrusal olduğundan, \widehat{BEF} açısı \triangle ABE üçgeninin bir dış açısıdır:
m(\widehat{BEF}) = \frac{m(\widehat{A})}{2} + \frac{m(\widehat{B})}{2} = 70^\circ \implies m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 140^\circ
Adım 2 — Dörtgenin İç Açılar Toplamından x Değerini Bulma
Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ’dir:
m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{ADC}) + m(\widehat{BCD}) = 360^\circ
140^\circ + 80^\circ + x = 360^\circ
220^\circ + x = 360^\circ \implies x = 140^\circ
CEVAP (15. Soru): B) 140 (x = 140^\circ)
16. Sorunun Çözümü
Adım 1 — Karşılıklı Açıortaylar Bağıntısını Uygulama
[BF ve [ED] sırasıyla karşılıklı B ve D köşelerine ait iç açıortaylardır. Doğrusal olan B, E, F çizgisi üzerinde oluşan \widehat{DEF} dar açısı, diğer iki karşı köşe açısının (C ve A) farkının yarısına eşittir:
m(\widehat{DEF}) = \frac{|m(\widehat{BCD}) - m(\widehat{BAD})|}{2}
Adım 2 — Değerleri Yerine Yazma
m(\widehat{DEF}) = \frac{|90^\circ - 60^\circ|}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ
(Klasik yoldan: BCDE dörtgeninde \frac{B}{2} + \frac{D}{2} = \frac{360^\circ - (60^\circ + 90^\circ)}{2} = 105^\circ bulunur. BCDE iç açıları toplamından m(\widehat{BED}) = 360^\circ - (90^\circ + 105^\circ) = 165^\circ olup bütünleri m(\widehat{DEF}) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ çıkar.)
CEVAP (16. Soru): A) 15 (m(\widehat{DEF}) = 15^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Komşu açıortaylar kesiştiğinde açılar toplanıp ikiye bölünür; karşılıklı açıortaylar kesiştiğinde ise aradaki dar açı karşı açıların farkı alınıp ikiye bölünür. Bu iki kural sınavlarda doğrudan zaman kazandırır.