Yandaki şekilde ABD ve BDC dik üçgenleri çizilmiştir. Buna göre $\tan(\widehat{ADC})$ kaçtır?

YKS TYT
1

image
image439×291 18.2 KB

2

Trigo5-TanADC-Solution

Önemli Noktalar

  • Dik üçgenlerde tan fonksiyonu karşı dik kenarın komşu dikene oranıdır
  • Üçgenlerde Pisagor bağıntısı ve benzerlik kullanılabilir
  • Zebirde verilen uzunlukları kullanarak açı tanjantı hesaplanır

Tan(ADC) açısını bulmak için verilen dik üçgenlerde kenar uzunlukları ve dik açı bilgisi kullanılarak, tan(ADC) = Karşı Kenar / Komşu Kenar formülü uygulanır. Üçgenleri inceleyip kenar uzunlukları bulunur ve açıya göre oran hesaplanır.

İçindekiler

  1. Üçgenlerin İncelenmesi
  2. Kenar Uzunluklarının Hesaplanması
  3. Tan(ADC) Hesabı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Üçgenlerin İncelenmesi

Yanda ABD ve BDC dik üçgenleri verilmiştir.

  • ABD üçgeninde, dik açının B’de olduğu belirtilmiş.
  • BDC üçgeninde, dik açının C’de olduğu belirtilmiş.

Buna göre:

  • ABD dik üçgeninde AB ve BD dik kenar, AD hipotenüs olabilir.
  • BDC dik üçgeninde BC ve DC dik kenar, BD hipotenüs olabilir.

Üçgenlerin dik olduğu noktalar ve verilen uzunluklardan yararlanacağız.

:light_bulb: Pro Tip: Dik üçgenlerde dik açıya komşu ve karşı kenar uzunluklarını net belirlemek işlemleri kolaylaştırır.

2. Kenar Uzunluklarının Hesaplanması

Verilen uzunluklar:

  • AB = √5
  • BC = 2
  • DC = 4
  • AC = 5

ABD üçgeninde:

  • Dik açı B olduğuna göre AB ve BD dik kenarlardır.
  • AB = √5, BD bilinmiyor.

BDC üçgeninde:

  • Dik açı C olduğuna göre BC ve DC dik kenarlardır.
  • BC = 2, DC =4.

Öncelikle BD uzunluğunu bulalım. Üçgen BDC için Pisagor kullanılır:
$$BD = \sqrt{BC^2 + DC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

ABD üçgeninde hipotenüs AD:
$$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 4 \times 5} = \sqrt{5 + 20} = \sqrt{25} = 5$$

Buradan doğruluk kontrolü yapılır, AC ile AD eşit olarak verilmiş.

3. Tan(ADC) Hesabı

Açı ADC, üçgen ADC içinde yer alır. Dikkatli bakıldığında, bu açı için:

  • Karşı kenar: AC’nin bir parçası veya ilgili kenar
  • Komşu kenar: DC veya AD gibi kenarlar olabilir.

Ama ADC açısını açısal uyuma göre daha iyi yorumlamak için tan(ADC) = Karşı / Komşu formülünü uygulayalım.

ADC açısı, BDC üçgeninde D noktası ortak olduğundan, trigonometrik oranlar buradan hesaplanmalı.

ADC açısının tanjant değeri, üçgen ADC için:

$$\tan(ADC) = \frac{AB}{BD}$$

Ya da daha kolay hesap için, dörtgenin köşe ve kenar ilişkisini tekrar gözden geçirelim.

Alternatif, tan(ADC) açısı, üçgen BDC’nin tamamlayıcısıdır ve bu üçgenlerde kenar oranı kullanılır:

Tan(ADC) = Karşı / Komşu olarak:

$$\tan(ADC) = \frac{AB}{BD} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$$

Bu B şıkkı seçenek değerine uyuyor.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
BD uzunluğu \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5} 2\sqrt{5}
AD uzunluğu \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2} = 5 5
Tan(ADC) AB / BD = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} 1/2

Sık Sorulan Sorular

1. Tanjant nedir?
Tanjant, dik üçgenlerde bir açının karşı kenarının komşu kenarına oranıdır.

2. Pisagor teoremi nedir?
Dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir: c^2 = a^2 + b^2.

3. Dik üçgenlerde hipotenüs nasıl bulunur?
Kenarların kareleri toplanıp karekökü alınarak bulunur.

Sonraki Adımlar

Problemde kullanılan geometri prensiplerini başka trigonometrik oranlarla (sin, cos) benzer örneklerde denemek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

Yandaki şekilde ABD ve BDC dik üçgenleri çizilmiştir. Buna göre \tan(\widehat{ADC}) kaçtır?

Temel Bilgiler

  • ABD ve BDC iki ayrı dik üçgendir.
  • Kenar uzunlukları: AB = \sqrt{5}, BC = 2, CD = 4.
  • Hipotenüsler: BD = 2\sqrt{5}, AD = 5.

Doğru Cevap: \displaystyle \tan(\widehat{ADC}) = \frac{4}{3}

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Üçgen BDC’de dik açı C’de olduğundan
BD = \sqrt{BC^2 + DC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}.
  1. Üçgen ABD’de dik açı B’de olduğundan
AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2} = 5.
  1. \angle ADC açısının tanjantı için vektör yöntemini kullanalım.
    \overrightarrow{DA}=(-2\sqrt{5},\;\sqrt{5}),
    \overrightarrow{DC}=(-\tfrac{8\sqrt{5}}{5},\;-\tfrac{4\sqrt{5}}{5}) alınca
    \overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DC} =u_1v_2 - u_2v_1 = 16, \quad \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC} = 12.
    Böylece
    \tan(\widehat{ADC}) = \frac{|\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DC}|} {\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}.

Özet Tablosu

Eleman Değer
AB \sqrt{5}
BC 2
CD 4
BD 2\sqrt{5}
AD 5
\tan(\widehat{ADC}) \tfrac{4}{3}

SSS

S1: Tanjant (\tan) nedir?
C1: Bir dik üçgende açı \theta için
\tan(\theta)=\dfrac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Komşu dik kenar}} formülüyle bulunur.

S2: Dik olmayan üçgende açı tanjantı nasıl hesaplanır?
C2: Vektörler veya trigonometrik toplam-fark formülleriyle; örneğin iki kenar arasındaki açı \phi ise
\tan(\phi)=\dfrac{|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}} yöntemini kullanabiliriz.

S3: Pisagor Teoremi nasıl uygulanır?
C3: Bir dik üçgende a^2 + b^2 = c^2 eşitliği geçerlidir; c hipotenüstür.

S4: Tan grafiğinin temel özellikleri nelerdir?
C4: Periyodu \pi, dikey asimptotları \frac{\pi}{2}+k\pi, süreklidir ve her periyotta tüm gerilim değerlerini alır.

Başka bir trigonometrik açı hesabı veya tanjant içeren bir örnek soru çözümü görmek ister misin? @Abdurrahman2134