Yandaki görselde yere dik duran iki direk arasında bir ip ile oluşturulan zipline (ziplayn) parkurunda, gerekli güvenlik ekipmanlarını kullanarak ilerleyen bir kişinin anlık görüntüsü verilmiştir. Uzun ve kısa direğin ip ile yaptığı açıların ölçüleri sırasıyla 75^irc ve 85^irc dir. Uzun direğin yüksekliği 50 m, kısa direğin yüksekliği 33 m ve bu kişinin bulunduğu noktadaki ipin yerden yüksekliği 32 m olduğuna göre iki direk arasındaki en kısa uzaklığın yaklaşık olarak kaç metre olduğunu bulunuz. (\tan 75^irc \approx 3,7 ve \tan 85^irc \approx 11,4 alınız.)
İki Direk Arasındaki Uzaklığın Trigonometri ile Bulunması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Dik üçgende bir dar açının tanjantı, karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına eşittir:
\tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \implies \text{Karşı Dik Kenar} = \text{Komşu Dik Kenar} \cdot \tan(\alpha)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sol Tarafın Geometrik Modellenmesi ve Yatay Uzaklığın Bulunması
Uzun direğin tepe noktasından kişinin bulunduğu hizaya kadar olan düşey yükseklik farkı hesaplanır:
\Delta h_1 = 50 - 32 = 18\text{ m}
Düşey direk ile ip arasındaki açı 75^\circ olduğundan, bu açıya göre komşu dik kenar 18\text{ m}, karşı dik kenar ise kişinin uzun direğe olan yatay uzaklığı (x_1) olur:
\tan(75^\circ) = \frac{x_1}{\Delta h_1} \implies x_1 = 18 \cdot \tan(75^\circ)
x_1 \approx 18 \cdot 3{,}7 = 66{,}6\text{ m}
Adım 2 — Sağ Tarafın Geometrik Modellenmesi ve Yatay Uzaklığın Bulunması
Kısa direğin tepe noktasından kişinin bulunduğu hizaya kadar olan düşey yükseklik farkı hesaplanır:
\Delta h_2 = 33 - 32 = 1\text{ m}
Düşey direk ile ip arasındaki açı 85^\circ olduğundan, bu açıya göre komşu dik kenar 1\text{ m}, karşı dik kenar ise kişinin kısa direğe olan yatay uzaklığı (x_2) olur:
\tan(85^\circ) = \frac{x_2}{\Delta h_2} \implies x_2 = 1 \cdot \tan(85^\circ)
x_2 \approx 1 \cdot 11{,}4 = 11{,}4\text{ m}
Adım 3 — İki Direk Arasındaki Toplam Yatay Uzaklığın Hesaplanması
İki direk arasındaki en kısa mesafe, bulunan iki yatay parçanın toplamına eşittir:
x = x_1 + x_2
x = 66{,}6 + 11{,}4 = 78\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 78\text{ metre}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tanjant Fonksiyonu: Bir dik üçgende açının karşısındaki kenar ile komşusundaki kenar arasındaki doğrusal oranı kurmamızı sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Açının zemin ile yapıldığını varsayıp \tan(75^\circ) = \frac{18}{x_1} şeklinde ters oran kurmak.- Doğru Yaklaşım: Açının düşey direk ile ip arasında verildiğini dikkate alarak açının komşu kenarının direğin yükseklik farkı (\Delta h), karşı kenarının ise yatay zemin mesafesi (x) olduğunu belirlemek.
Trigonometrik oranların dik üçgende modellenmesiyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?