- Yandaki görselde 7 adet eş dikdörtgenden oluşan bir şekil verilmiştir.
m(widehat{BAC}) = x ve m(widehat{BCD}) = y olduğuna göre \tan x + \tan y değerini bulunuz. - Dört çubuk ile Şekil 1’deki gibi kısa kenarı 4 cm olan ABCD dikdörtgeni oluşturulmuştur. Bu dikdörtgende BD köşegeni çizildiğinde oluşan BDX açısının ölçüsü 30°dir. Dikdörtgenin uzun kenarlarından biri olan DC, 30 cm’dir. Dikdörtgenin uzun kenarı boyunca getirilen BD köşegeni, C konumuna getirilmiştir. Dönme işlemi sonunda C’ noktasının AB doğrusuna olan uzaklığı 10 cm olarak ölçülmüştür.
Son durumda m(widehat{C'DA}) değerini bulunuz.
10. Soru: Dikdörtgenlerde Trigonometrik Oranlar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Dik üçgende bir dar açının tanjant değeri:
\tan \theta = \frac{\text{Karşı Dik Kenar Uzunluğu}}{\text{Komşu Dik Kenar Uzunluğu}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dikdörtgenlerin Kenar Uzunlukları Arasındaki Orantıyı Belirleme
Şekilde 7 adet eş dikdörtgen bulunmaktadır:
- Sol tarafta 2 adet dikey,
- Orta kısımda 2 adet dikey,
- Sağ tarafta 3 adet yatay dikdörtgen üst üste yerleştirilmiştir.
Eş dikdörtgenlerden birinin kısa kenarına k, uzun kenarına u diyelim:
- Sağdaki 3 adet yatay dikdörtgenin toplam yüksekliği 3k’dir.
- Soldaki dikey dikdörtgenlerin yüksekliği u’dur.
- Şeklin toplam yüksekliği eşit olduğundan:
u = 3k
Adım 2 — Şeklin Toplam Boyutlarını Hesaplama
- Toplam Yükseklik (|BD|): u = 3k
- Toplam Genişlik (|AD|): Soldaki 2 dikey (2k) + Ortadaki 2 dikey (2k) + Sağdaki yatayların uzun kenarı (u = 3k)
|AD| = 2k + 2k + 3k = 7k
- |CD| Uzunluğu: C noktası sağdaki bloğun başlangıcı olduğundan, CD arası yalnızca sağdaki bloğun genişliğidir:
|CD| = u = 3k
Adım 3 — \tan x ve \tan y Değerlerini Hesaplama
- BAD dik üçgeninde m(\widehat{BAC}) = x açısı için:
\tan x = \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{3k}{7k} = \frac{3}{7}
- BCD dik üçgeninde m(\widehat{BCD}) = y açısı için:
\tan y = \frac{|BD|}{|CD|} = \frac{3k}{3k} = 1
Adım 4 — İstenen Toplamı Bulma
\tan x + \tan y = \frac{3}{7} + 1 = \frac{10}{7}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \mathbf{\dfrac{10}{7}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11. Soru: Dönme Hareketi ve Trigonometri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
- Dik üçgende \sin \alpha = \dfrac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}}, \tan \alpha = \dfrac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dikdörtgenin Uzun Kenarını Bulma
BCD dik üçgeninde kısa kenar |BC| = 4\text{ cm} ve m(\widehat{BDC}) = 30^\circ olarak verilmiştir:
\tan 30^\circ = \frac{|BC|}{|DC|} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{|DC|} \implies |DC| = 4\sqrt{3}\text{ cm}
Adım 2 — Dönme Geometrisini Modelleme
- Çubuk D noktası etrafında döndürüldüğünde boyu değişmez: |DC'| = |DC| = 4\sqrt{3}\text{ cm}.
- D noktasının AB tabanına olan dik uzaklığı |AD| = 4\text{ cm}'dir.
- C' noktasının AB doğrusuna toplam uzaklığı 10\text{ cm} olduğuna göre, C' noktasının D noktasının yatay hizasından olan yüksekliği (h):
h = 10 - 4 = 6\text{ cm}
Adım 3 — \alpha^\circ Açısının Değerini Hesaplama
C' noktasından DC yatay doğrultusuna indirilen dikmede:
\sin \alpha = \frac{h}{|DC'|} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Buradan \alpha = 60^\circ bulunur.
Adım 4 — \tan \alpha^\circ Değerini Bulma
\tan \alpha = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \mathbf{\sqrt{3}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eş Şekillerde Kenar Eşleme: Farklı yönlerde dizilmiş eş dikdörtgenlerin kenarları arasında tam kat ilişkisi (u = 3k) kurularak tüm uzunluklar tek bir değişkene indirgenir.
- Dönme Hareketi: Bir doğru parçası bir nokta etrafında döndürüldüğünde uzunluğu sabit kalır; uç noktasının koordinatları açıya bağlı trigonometrik oranlarla değişir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 10. soruda C noktasının konumunu yanlış okuyup |CD| mesafesini k cinsinden eksik veya fazla almak.- Doğru Yaklaşım: Blokların yatay/dikey dağılımını tek tek toplayarak A, C, D noktalarının apsislerini net olarak belirlemek.
Bu trigonometri ve geometri mantığını pekiştirmek için benzer bir koordinatlı oran sorusu çözmek ister misin?