Yandaki ABCD dörtgeninde [DA] perp [AB], [DC] perp [CB], E, D, C ve F, B, C noktaları doğrudur. m(widehat{ADE}) = 2x ve m(widehat{ABF}) = 3x + 5^irc olarak veriliyor.
Buna göre x in kaç derece olduğunu bulunuz.
ABCD Dörtgeninde x Değerinin Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dış Açı Teoremi: Bir dışbükey (konveks) çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı daima 360^\circ’dir.
- Doğru Açı: Doğrusal bir hat üzerindeki komşu iki açının toplamı 180^\circ’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen İç ve Dış Açıların Belirlenmesi
Şekilde verilen dikliklere göre:
- [DA] \perp [AB] \implies m(\widehat{DAB}) = 90^\circ olduğundan A köşesindeki dış açı: 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
- [DC] \perp [CB] \implies m(\widehat{DCB}) = 90^\circ olduğundan C köşesindeki dış açı: 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
- E, D, C noktaları doğrusal olduğundan D köşesindeki dış açı: m(\widehat{ADE}) = 2x
- F, B, C noktaları doğrusal olduğundan B köşesindeki dış açı: m(\widehat{ABF}) = 3x + 5^\circ
Adım 2 — Dış Açılar Toplamı Denkleminin Kurulması
Dörtgenin tüm dış açıları toplamı 360^\circ olduğundan:
90^\circ + 90^\circ + 2x + (3x + 5^\circ) = 360^\circ
Adım 3 — Denklemin Çözülmesi
Benzer terimleri toplayalım:
185^\circ + 5x = 360^\circ
185^\circ ifadesini eşitliğin diğer tarafına atalım:
5x = 360^\circ - 185^\circ
5x = 175^\circ
Her iki tarafı 5’e bölelim:
x = \frac{175^\circ}{5}
x = 35^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x = 35^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çokgenlerde Dış Açı Toplamı
- Tanım: Kenar sayısından bağımsız olarak bütün konveks çokgenlerin dış açılarının toplamı sabit ve 360^\circ’dir.
- Bu problemde: A, B, C, D köşelerindeki dış açıların toplamı 360^\circ’ye eşitlenerek doğrudan birinci dereceden bir denklem elde edilmiştir.
2. Doğrusal Noktalar ve Bütünler Açılar
- Tanım: Doğrusal noktalar üzerinde bulunan bir iç açı ile onun komşu dış açısının toplamı 180^\circ’dir.
- Bu problemde: E, D, C ve F, B, C noktalarının doğrusal verilmesi, dış açıların doğrudan kullanılabilmesini sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dış Açı ile İç Açıyı Karıştırmak
- Yanlış: 2x ve 3x + 5^\circ açılarını doğrudan dörtgenin iç açıları toplamı olan 360^\circ’ye eşitlemek.
- Doğru: Bu açılar dış açılardır. Ya dış açılar toplamı formülü (360^\circ) kullanılmalı ya da açılar 180^\circ’den çıkarılarak önce iç açılara dönüştürülmelidir.
- Neden yanlış: Dış açılar ile iç açılar aynı kurala göre toplanamaz; iç açılar toplamı da 360^\circ olmasına rağmen her bir köşede iç ve dış açı farklı değerlere sahiptir.
Bu sorudaki açı değerlerini kullanarak dörtgenin iç açılarını (m(\widehat{B}) ve m(\widehat{D})) bulmamı ister misin?