- Yan yana duran dört hedeften iki ya da üç tanesini vuran yarışmacının toplam puanı sıfır olur

YKS TYT
1
  1. Bir lunaparkta şekildeki gibi dizili ve sayılarla puanlandırılmış 12 adet hedef vardır. Bu hedeflerle oynanan bir yarışmada katılan- lar (3 atış yapmaları istenmiştir. Yaptığı atışlar sonucunda vurabildiği hedefler üzerindeki puanlar toplamı 12 olan kişi büyük ödülü kazanacaktır. Puan hesaplamasında aşağıdaki kurallar uygulanmaktadır.
  • Yan yana duran dört hedeften iki ya da üç tanesini vuran yarışmacının toplam puanı sıfır olur.
    Buna göre, büyük ödül kazanmak isteyen bir yarışmacı 12 puanı kaç farklı biçimde elde edebilir?
    A) 21
    B) 24
    C) 27
    D) 30
    E) 33

Bir lunaparkta şekildeki gibi dizili ve sayılarla puanlandırılmış 12 adet hedef vardır.
Bir lunaparkta şekildeki gibi dizili ve sayılarla puanlandırılmış 12 adet hedef vardır.741×1024 125 KB

2

Hedef Tahtasında Toplam 12 Puan Kazanma Olasılıklarının Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Toplam Puan Şartı: 3 atış sonunda vurulan hedeflerin puanları toplamı 12 olmalıdır.
  • Kısıtlamalar:
    1. Aynı hedef birden fazla kez vurulamaz (tekrarlı hedef yasak).
    2. Yan yana duran dört hedeften (aynı satırdan) 2 veya 3 tanesi vurulursa toplam puan 0 olur (Her satırdan en fazla 1 hedef vurulabilir).
  • Satır Dağılımı:
    • 1. Satır: \{1, 2, 3, 4\}
    • 2. Satır: \{5, 6, 7, 8\}
    • 3. Satır: \{9, 10, 11, 12\}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 1 Hedef Vurulup 2 Atışın Iskaladığı (0 Puan) Durum

  • Toplamın 12 olması için tek atışta 12 numaralı hedefin vurulması gerekir.
  • 12 numaralı hedef 3. satırdadır ve tek başına vurulduğu için satır kuralını ihlal etmez.
  • 12 puanlık hedefin 1., 2. veya 3. atışta vurulma durumları:
    (12, \text{Karavana}, \text{Karavana}), (\text{Karavana}, 12, \text{Karavana}), (\text{Karavana}, \text{Karavana}, 12)
  • Bu durum için toplam yol sayısı:
    \frac{3!}{2!} = 3 \text{ farklı biçim}

Adım 2 — 2 Hedef Vurulup 1 Atışın Iskaladığı Durum

  • Toplamı 12 olan iki farklı sayının ikilileri belirlenir:
    • \{1, 11\} \rightarrow 1 (1. satır), 11 (3. satır) \rightarrow Farklı satırlarda :white_check_mark:
    • \{2, 10\} \rightarrow 2 (1. satır), 10 (3. satır) \rightarrow Farklı satırlarda :white_check_mark:
    • \{3, 9\} \rightarrow 3 (1. satır), 9 (3. satır) \rightarrow Farklı satırlarda :white_check_mark:
    • \{4, 8\} \rightarrow 4 (1. satır), 8 (2. satır) \rightarrow Farklı satırlarda :white_check_mark:
    • \{5, 7\} \rightarrow 5 (2. satır), 7 (2. satır) \rightarrow Aynı satırda olduğu için puan 0 olur :cross_mark:
    • \{6, 6\} \rightarrow Aynı hedef iki kez vurulamayacağı için puan 0 olur :cross_mark:
  • Geçerli ikili sayısı 4 tanedir.
  • Seçilen herhangi bir ikili (örneğin \{1, 11\}) ve 1 ıska atışı kendi arasında 3! farklı sırada gerçekleşebilir:
    3! = 6 \text{ farklı sıralama}
  • Bu durum için toplam yol sayısı:
    4 \times 6 = 24 \text{ farklı biçim}

Adım 3 — 3 Hedefin de Vurulduğu Durum

  • 3 atışın da isabetli olması durumunda, aynı satırdan 2 hedef vurulamayacağı kuralı gereği her bir satırdan tam olarak 1 hedef vurulmalıdır.
  • Her satırdan seçilebilecek en küçük değerler:
    \min(\text{1. Satır}) = 1, \quad \min(\text{2. Satır}) = 5, \quad \min(\text{3. Satır}) = 9
  • Alınabilecek en küçük toplam:
    1 + 5 + 9 = 15
  • 15 > 12 olduğundan dolayı, kuralları bozmadan 3 hedefin vurulmasıyla toplamda 12 puan elde etmek imkânsızdır (0 biçim).

Adım 4 — Toplam Farklı Durum Sayısı

  • Tüm geçerli durumlar toplanır:
    \text{Toplam Durum} = 3 + 24 + 0 = 27

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Koşullu Permütasyon (Sıralama)

  • Tanım: Belirli kısıtlamalar altında elemanların farklı dizilişlerinin hesaplanmasıdır.
  • Bu problemde: Vurulan hedeflerin hangi atış sırasında vurulduğu (1., 2. veya 3. atış) sonucu değiştirdiği için 3! ile çarpılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: \{5, 7\} İkilisini Dahil Etmek

  • Yanlış: 5 + 7 = 12 olduğu için \{5, 7\} durumunu hesaba katmak.
  • Doğru: 5 ve 7 aynı satırda (yan yana 4 hedef grubunda) yer aldığından kural gereği toplam puan 0 olur.
  • Neden Yanlış: Sorudaki “Yan yana duran dört hedeften iki ya da üç tanesini vuran yarışmacının puanı sıfır olur” şartı ihlal edilir.

Bu soru tipinde atış sıralaması ve olasılık hesapları ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?