Yan çapi r olan bir dairenin çevre uzunluğu 2\pi r’dir.
Yukarıda tekerleklerinin yarıçap uzunlukları verilen bebek arabası düz bir yolda sürülüyor. Bebek arabası gideceği yolu tamamladığında ön ve arka tekerleklerin tam tur at- tığı görülüyor.
Buna göre bu bebek arabası en az kaç metre sürül- müştür? (\pi = 3 alınız.)
A) 1,8
B) 2,7
C) 3,6
D) 5,4
Bebek Arabasının Aldığı En Az Mesafenin Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dairenin Çevre Formülü: \text{Çevre} = 2 \times \pi \times r
- Tam Tur Problemleri (EKOK): Bir yol boyunca dönen farklı tekerleklerin her ikisi de tam tur atıyorsa, alınan yol tekerlek çevrelerinin En Küçük Ortak Katı (EKOK) olmalıdır.
- Birim Dönüşümü: 1\text{ metre} = 100\text{ santimetre}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Küçük (Ön) Tekerleğin Çevresini Hesaplama
- Ön tekerleğin yarıçapı: r_1 = 9\text{ cm}, \pi = 3
- \text{Çevre}_1 = 2 \times \pi \times r_1
- \text{Çevre}_1 = 2 \times 3 \times 9\text{ cm} = 54\text{ cm}
Adım 2 — Büyük (Arka) Tekerleğin Çevresini Hesaplama
- Arka tekerleğin yarıçapı: r_2 = 15\text{ cm}, \pi = 3
- \text{Çevre}_2 = 2 \times \pi \times r_2
- \text{Çevre}_2 = 2 \times 3 \times 15\text{ cm} = 90\text{ cm}
Adım 3 — Alınan En Az Yolun (EKOK) Bulunması
- Tekerleklerin her ikisi de tam tur attığına göre gidilen mesafe hem 54\text{ cm}'nin hem de 90\text{ cm}'nin ortak bir katı olmalıdır. En az mesafeyi bulmak için \text{EKOK}(54, 90) hesaplanır:
- 54 = 2 \times 3^3
- 90 = 2 \times 3^2 \times 5
- \text{EKOK}(54, 90) = 2 \times 3^3 \times 5 = 2 \times 27 \times 5 = 270\text{ cm}
Adım 4 — Santimetreyi Metreye Dönüştürme
- Soru sonucu metre cinsinden istediği için 270\text{ cm} metreye çevrilir:
- \text{Yol} = \frac{270}{100} = 2,7\text{ metre}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2,7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çevre ile Yol İlişkisi
- Tanım: Dairesel bir tekerlek 1 tam tur attığında çevresi kadar yol alır.
- Bu problemde: Ön tekerlek 1 turda 54\text{ cm}, arka tekerlek ise 90\text{ cm} yol almıştır.
2. En Küçük Ortak Kat (EKOK)
- Tanım: İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
- Bu problemde: İki tekerleğin aynı mesafede tam tur tamamlaması için mesafenin 54 ve 90’ın ortak katı olması gerekmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yarıçapların EKOK’unu Almak
- Yanlış: Tekerlek çevrelerini hesaplamadan doğrudan yarıçapların (9 ve 15) EKOK’unu alarak işlem yapmak.
- Doğru: Tekerlekler tur attıkça çevreleri kadar ilerler; bu nedenle önce çevreler hesaplanmalı, ardından çevrelerin EKOK’u alınmalıdır.
- Neden yanlış: Yarıçap tekerleğin aldığı doğrusal mesafeyi doğrudan temsil etmez.
Birim Dönüşümünü Unutmak
- Yanlış: Çıkan 270 sonucunu doğrudan işaretlemeye çalışmak veya seçeneklerde bulamamak.
- Doğru: Verilen ölçüler \text{cm} cinsinden olduğundan, son adımda 100’e bölerek metreye (\text{m}) dönüştürmek gerekir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir EKOK ve çevre problemi daha çözmemi ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Bebek Arabasının Aldığı En Az Yolun Kısa Çözümü
KULLANILAN FORMÜL: \text{Çevre} = 2 \times \pi \times r ve \text{Yol} = \text{EKOK}(\text{Çevre}_1, \text{Çevre}_2)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tekerleklerin Çevrelerini Bulma
- Ön Tekerlek (r = 9\text{ cm}): 2 \times 3 \times 9 = 54\text{ cm}
- Arka Tekerlek (r = 15\text{ cm}): 2 \times 3 \times 15 = 90\text{ cm}
Adım 2 — En Küçük Ortak Katı (EKOK) Hesaplama
- Her iki tekerlek de tam tur attığı için yol her iki çevrenin katı olmalıdır:
- \text{EKOK}(54, 90) = 270\text{ cm}
Adım 3 — Birimi Metreye Çevirme
- 270\text{ cm} = \frac{270}{100} = 2,7\text{ metre}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2,7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAM:
- Tekerlekler tam tur attığında alınan en kısa mesafe, çevrelerinin EKOK değerine eşittir.
SIK YAPILAN HATA:
- Yarıçapların değil, mutlaka çevrelerin EKOK’u alınmalıdır.
Bu çözüm yöntemini pekiştirmek için benzer bir pratik soru çözmek ister misin?