Soruyu Çözme:
Soru:
n bir pozitif tam sayıdır.
(x^2 - \frac{2}{x})^n
ifadesinin açılımında sabit terim 240’tır. Buna göre, bu ifadenin açılımında x^9'lu terimin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda binom açılımı ve terimlerin düzenlenmesi gerekiyor.
1. Binom Açılımı
Genel binom açılım formülü:
Burada:
- C(n,k) binom katsayısını temsil eder. Bu, $n$’nin k'lı kombinasyonudur:
Açıklanacak ifade:
2. Üs ve Katsayı Hesabı
Her terim için düzenleme:
- (x^2)^{n-k} kısmı için üs:
- \left(-\frac{2}{x}\right)^k kısmı için üs:
Toplam terimdeki x'in üssü:
3. Sabit Terim Şartı
Sabit terim, x^{0} olan terimdir. Yani:
Bu denklemi çözerek k’yı bulalım:
k bir tam sayı olmak zorunda olduğundan 2n'nin 3’e tam bölünebilmesi gerekir. Bu da n'nin 3’ün katı olması anlamına gelir.
4. Sabit Terim Katsayısı
k = \frac{2n}{3} olduğunda, sabit terim katsayısını buluyoruz:
Soruya göre sabit terimin katsayısı 240 olarak verilmiş. Bu bilgi (n)'yi bulmamız için gerekli.
Sabit Terimi Kullanarak (n) Bulma
Sabit terim:
C(n, \frac{2n}{3}):
5. x^9 Terimi
Son olarak elde edilen (n) değerini kullanıp x^9'lu terimi bulabiliriz.
(x² - 2/x)ⁿ ifadesinin açılımında sabit terimin 240 olduğu ve bu ifadenin açılımında x⁹’lu terimin katsayısının sorulduğu bu problemde, önce n değerini bulmak daha sonra x⁹’lu terimi incelemek gerekir. Aşağıdaki adımları izleyerek soruyu çözelim.
Table of Contents
- Genel Bilgiler
- Sabit Terim Koşulu
- n Değerinin Bulunması
- x⁹’lu Terimin Koşulu ve Katsayısı
- Örnek Çözüm Adımları Tablosu
- Kısa Özet ve Sonuç
1. Genel Bilgiler
Bir binom ifadesi (A + B)ⁿ açıldığında genel terimi, kombinasyon ve üs kurallarını içeren şu formülle bulunur:
T(k+1) = C(n, k) × A^(n-k) × B^k.
Bu soruda ifademiz
( x² - 2/x )ⁿ
şeklindedir.
Her terimdeki x’in üssü birleşimi (üslerin toplanması) üzerinden istenen terimin derecesini tutturmaya çalışırız.
2. Sabit Terim Koşulu
Bir terimin sabit (x⁰) olabilmesi için açılımdaki x’li ifadelerin toplam üssünün 0 olması gerekir.
Genel terim:
T(k+1) = C(n, k) × (x²)^(n-k) × ( -2/x )^k
= C(n, k) × x^(2(n-k)) × (-2)ⁿ⁻ᵏ × x⁻ᵏ
= C(n, k) × (-2)ⁿ⁻ᵏ × x^(2n - 2k - k)
= C(n, k) × (-2)ⁿ⁻ᵏ × x^(2n - 3k).
Burada x üzerindeki toplam üs = 2n - 3k olmalıdır. Sabit terim için:
2n - 3k = 0 ⇒ 3k = 2n ⇒ k = 2n/3.
– Not: n pozitif tam sayı olduğu için 2n/3 da tam sayı olmalıdır. Bu da n’in 3’ün katı olmak zorunda olduğunu göstermez; dikkatlice kontrol edelim: ifademiz (x² - 2/x)ⁿ olduğundan her bir terimdeki x’in üssü = 2(n-k) - k = 2n - 2k - k = 2n - 3k. Eşitliği yeniden kontrol edelim: sabit terim için
2n - 3k = 0 → k = 2n/3.
Buna göre k değeri tam sayı olacaksa 2n/3 tamsayı olmak zorundadır. Ancak çok often bu tip sorularda (x² - 2/x)ⁿ formatında sabit terim için n’in 3’ün katı olduğu durum sık karşımıza çıkar. Fakat burada 2n/3’ün tam sayı olması, n’in 3’ün katı değil 3’ün katı olması yerine, n’in 3’ün katlarının yarısı olabilir. Şöyle bir testle ilerleyelim:
- k sayısı 0 ≤ k ≤ n aralığında olmalı (kombinasyonda k, n’den büyük olamaz).
- k = 2n/3’ün bu aralıkta ve tamsayı olması gerekiyor.
Soruda sabit terimin 240 olduğu bilgisi var. Bu sabit terimi elde etmek için k = 2n/3 değeriyle T(k+1) ifadesini hesaplayalım.
3. n Değerinin Bulunması
Sabit terim:
T(k+1) = C(n, k) × (-2)^(n-k) × x^(2n - 3k).
x⁰ terimi için k = 2n/3. İlgili katsayı:
C(n, 2n/3) × (-2)^( n - 2n/3 ) = C(n, 2n/3) × (-2)^( n/3 ).
Bu katsayının mutlak değeri 240 olarak verilmiş. İşlemleri pratikleştirmek için “n” üzerinde deneme-yanılma yoluna gidebiliriz. Sınav formatında da genelde küçük değerler uygundur. Gelin kademeli deneyelim:
• n = 3 için k = 2(3)/3 = 2. Bu sabit terim katsayısı:
C(3,2) × (-2)^(1) = 3 × (-2) = -6 (mutlak değeri 6). 240 değil.
• n = 6 için k = 2(6)/3 = 4. O zaman sabit terim:
T(4+1) = C(6,4) × (-2)^(6-4) = C(6,4) × (-2)² = 15 × 4 = 60…
Ama dikkat edelim, formül genel hâli T(k+1) = C(n, k)(x²)^(n-k)(-2/x)^k. Yazdığımız son satırı daha düzenli hesaplayalım:
(x² - 2/x)⁶ = ∑ C(6, k) (x²)^(6-k) ( -2/x )^k
= ∑ C(6, k) x^(2(6-k)) × (-2)^k × x^(-k) … (işaret ve üs takibi)
= ∑ C(6, k) (-2)^k x^(12 - 2k - k)
= ∑ C(6, k) (-2)^k x^(12 - 3k).
Sabit terim için 12 - 3k = 0 ⇒ k = 4.
Katsayı = C(6,4) × (-2)^4 = 15 × 16 = 240. Evet bu tam 240 oldu.
Dolayısıyla n = 6 bulduk.
Bu doğrultuda n = 6 netleşir. Sabit terimin 240 olması demek (n=6, k=4) sabit terimle uyumlu.
4. x⁹’lu Terimin Katsayısı
Şimdi (x² - 2/x)⁶ açılımında x⁹’lu terimi bulalım.
Genel terim (k’ye göre):
T(k+1) = C(6, k) × (-2)^k × x^(12 - 3k).
x’in üssü 9 olmalı:
12 - 3k = 9 ⇒ -3k = -3 ⇒ k = 1.
Ancak burada bir karışıklık olabilir; sabit terim için k=4 bulmuştuk; x⁹ terimi için 12-3k=9 ⇒ 12-9=3 ⇒ 3/3=1. Evet, k=1. Hemen katsayıyı hesaplarsak:
Kat(x⁹) = C(6,1) × (-2)^1 = 6 × (-2) = -12.
Seçeneklerde -12 mevcuttur (A).
5. Örnek Çözüm Adımları Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Sabit terimin formülü | (x² - 2/x)ⁿ → Genel terim: C(n,k)(x²)^(n-k)(-2/x)^k = C(n,k)(-2)^k x^(2n-3k) | Sabit için 2n - 3k = 0 |
| 2. 2n - 3k = 0 koşulu | k = 2n/3 olup sabit terimi 240 veren n değeri aranır. | n = 6 (k=4) |
| 3. x⁹’lu terim koşulu | 12 - 3k = 9 (n=6 için 2n=12) → 12 - 3k = 9 → k=1 | İlgili k=1 |
| 4. x⁹ terimi katsayısını bulma | C(6,1)(-2)^1 = 6 × (-2) | -12 |
| 5. Kontrol ve cevap | Şıklarda -12, -6, 6, 12, 24 verilmiş; hesapladığımız sonuç -12 | Doğru cevap: -12 |
6. Kısa Özet ve Sonuç
- (x² - 2/x)ⁿ açılımında sabit terim, x üzerindeki üssün 0 olmasıyla belirlenir. Buradan n = 6 bulunur.
- x⁹ terimini elde etmek istediğimizde, 12 - 3k = 9 → k=1, katsayı = C(6,1)(-2)^1 = -12 çıkar.
- Dolayısıyla istenen x⁹’lu terimin katsayısı -12 olur.
Bu da sorudaki çoktan seçmeli cevaplar içerisinde A) -12 seçeneğine karşılık gelir.
cevap nedir
Sorunun cevabı:
$$\mathbf{-12}$$
Detaylı çözümde (x² - 2/x)ⁿ açılımındaki sabit terim koşulu ve katsayı ilişkileri incelendi. Sonuçlar:
- Sabit terimden (n = 6) bulundu.
- (x^9) terimi için (k = 1) hesaplandı. Katsayı [C(6,1) \cdot (-2)^1 = -12].
Bu nedenle doğru seçenek: A) -12.
Tablo ile özet:
| Terim | Değer |
|---|---|
| Sabit terim için (n) | (6) |
| (x^9)’lu terim (k) değeri | (1) |
| Katsayı hesaplama sonucu | (-12) |
| Doğru seçenek | A) |