Y = x² + x + 8 parabolü, y = -x² - 7x parabolüne K noktasında teğettir. AKO üçgensel bölgesinin alanı kaç br² dir?

YKS TYT
1

y = x^2 + x + 8 parabolü, y = -x^2 - 7x parabolüne K noktasında teğettir.
Buna göre, AKO üçgensel bölgesinin alanı kaç br^{2} dir?
A) 42
B) 35
C) 28
D) 21
E) 14

y = x² + x + 8 parabolü, y = -x² - 7x parabolüne K noktasında teğettir.
y = x² + x + 8 parabolü, y = -x² - 7x parabolüne K noktasında teğettir.1024×768 141 KB

2

y = x^2 + x + 8 ve y = -x^2 - 7x Parabollerinin Teğet Olduğu K Noktası ile Oluşan AKO Üçgeninin Alanı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  • İki parabolün kesişim ve teğetlik durumu için ortak çözüm denklemi: y_1 = y_2
  • Parabolün eksenleri kestiği noktalar: y = 0 \implies ax^2 + bx + c = 0
  • Tabanı x ekseni üzerinde olan üçgenin alanı: \text{Alan}(AKO) = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{|AO| \times y_K}{2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Noktasının Koordinatlarını Bulma
A noktası, y = -x^2 - 7x parabolünün x eksenini kestiği noktalardan orijin dışındaki noktadır. y = 0 eşitliğini kuralım:

-x^2 - 7x = 0
-x(x + 7) = 0

Buradan x = 0 (orijin O) ve x = -7 (A noktası) elde edilir.

  • A noktasının koordinatları: (-7, 0)
  • Taban uzunluğu: |AO| = |0 - (-7)| = 7\text{ br}

Adım 2 — Teğet Noktası K’nin Koordinatlarını Bulma
İki parabol K noktasında birbirine teğet olduğundan denklemlerini birbirine eşitleyelim:

x^2 + x + 8 = -x^2 - 7x
2x^2 + 8x + 8 = 0

Her iki tarafı 2’ye bölelim:

x^2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)^2 = 0 \implies x = -2

K noktasının ordinatını (y) bulmak için x = -2 değerini denklemlerden birinde yerine yazalım:

y = (-2)^2 + (-2) + 8 = 4 - 2 + 8 = 10
  • Teğet noktası: K(-2, 10)

Adım 3 — AKO Üçgeninin Alanını Hesaplama
[AO] tabanı x ekseni üzerinde olduğundan, bu tabana ait yükseklik K noktasının ordinatına (yani y_K değerine) eşittir:

  • \text{Taban } |AO| = 7\text{ br}
  • \text{Yükseklik } h = y_K = 10\text{ br}
\text{Alan}(AKO) = \frac{7 \times 10}{2} = \frac{70}{2} = 35\text{ br}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B şıkkı (35)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Parabollerin Birbirine Teğet Olması

  • Tanım: İki parabolün ortak çözüm denkleminin tek bir reel kökü (çift katlı kök, \Delta = 0) olması durumudur.
  • Bu problemde: 2(x+2)^2 = 0 denklemi x = -2 noktasında çift katlı kök vererek teğetlik noktasının apsisini doğrulamıştır.

2. Koordinat Düzleminde Üçgen Alanı

  • Tanım: Bir kenarı eksen üzerinde olan üçgenin alanı, o kenar uzunluğu ile karşı köşenin eksene olan dik uzaklığının (ilgili koordinatın mutlak değerinin) çarpımının yarısıdır.
  • Bu problemde: Taban x ekseni üzerinde 7\text{ br}, tepe noktası olan K noktasının x eksenine uzaklığı ise 10\text{ br} olarak uygulanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Teğet noktasının yalnızca apsisini bulup tabanla çarpmak

  • Yanlış: \frac{7 \times |-2|}{2} = 7 hesaplamak.
  • Doğru: Taban x ekseni üzerindeyse, yükseklik tepe noktasının apsisi (x) değil, ordinatıdır (y = 10).
  • Neden yanlış: x koordinatı noktanın y eksenine olan mesafesidir, x eksenine olan dik yüksekliği y koordinatı belirler.

Parabollerin birbirine göre durumları veya analitik geometride alan formülleriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?