detaylı anlatım
Bu soruda istenen: Koordinat sisteminde, birinci doğru olan (y = x + 7) ve ikinci doğru olan (8y + 2x - 10 = 0) (yani (y = \frac{5 - x}{4})) arasında kalan taralı bölgenin alanını bulmaktır.
Adım Adım Çözüm
1. Doğruları İnceleyelim
-
Birinci Doğru ((d_1)):
[
y = x + 7
]
Bu doğrunun eğimi 1, (y)-eksenini kestiği nokta ise ((0,7)) noktasıdır. -
İkinci Doğru ((d_2)):
[
8y + 2x - 10 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 8y = 10 - 2x \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{10 - 2x}{8} = \frac{5 - x}{4}
]
Bu doğrunun eğimi (-\frac{1}{4}), (y)-eksenini kestiği nokta ise ((0,\frac{5}{4})) noktasıdır.
2. Doğruların Birbirleriyle ve Eksenlerle Kesişim Noktalarını Bulma
Taralı bölgenin genellikle doğruların birbirleriyle ve/veya koordinat eksenleriyle olan kesişimleriyle belirlenir. Bu tip sorularda en sık rastlanan durum, (x)-eksenini ((y=0)) de içeren kapalı bir bölge oluşmasıdır. Adımları tek tek görelim:
2.1. (d_1) Doğrusunun (x)-Eksenini Kestiği Nokta
(x)-ekseni üzerinde (y=0) geçerlidir. Dolayısıyla:
[
0 = x + 7 \quad \Rightarrow \quad x = -7.
]
Bu nokta ((-7,0)) olur.
2.2. (d_2) Doğrusunun (x)-Eksenini Kestiği Nokta
Yine (y=0) için:
[
0 = \frac{5 - x}{4} \quad \Rightarrow \quad 5 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5.
]
Bu nokta ((5,0)) olur.
2.3. (d_1) ve (d_2) Doğrularının Kendi Aralarındaki Kesişimi
İki doğruyu eşitleyelim:
[
x + 7 = \frac{5 - x}{4}.
]
Her iki tarafı 4 ile çarparak:
[
4(x + 7) = 5 - x \quad \Rightarrow \quad 4x + 28 = 5 - x.
]
[
4x + x = 5 - 28 \quad \Rightarrow \quad 5x = -23 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{23}{5}.
]
(y) değeri ise (y = x + 7) ifadesinden bulunur:
[
y = -\frac{23}{5} + 7 = -\frac{23}{5} + \frac{35}{5} = \frac{12}{5}.
]
Dolayısıyla kesişim noktası (\left(-\frac{23}{5}, \frac{12}{5}\right)) olur.
3. Taralı Bölgeyi Tanımlama
Bu tip sorularda, genellikle (x)-eksenini kesen noktalar ((-7,0)) ve ((5,0)) arasında, üstte kalan doğru (d_1: y = x + 7), altta kalan doğru (d_2: y = \frac{5 - x}{4}) olacak şekilde bir kapanma elde edilir. Dolayısıyla taralı bölge, (x=-7) ile (x=5) arasında, yukarıda (y = x + 7) ve aşağıda (y = \frac{5 - x}{4}) ile sınırlı kapalı alandır.
4. Alan Hesabı İçin İntegral Yöntemi
Eğer bir fonksiyon (f(x)) ve başka bir fonksiyon (g(x)) arasında kalan alan soruluyorsa ve (f(x)) üst tarafta, (g(x)) alt tarafta bulunuyorsa, alan:
[
A = \int_{a}^{b} \bigl[f(x) - g(x)\bigr]; dx
]
şeklinde hesaplanır. Burada:
- (a = -7) (sol sınır, yani (x=-7))
- (b = 5) (sağ sınır, yani (x=5))
- (f(x) = x + 7)
- (g(x) = \frac{5 - x}{4})
Bu durumda,
[
A = \int_{-7}^{5} \left[\bigl(x + 7\bigr) ;-; \frac{5 - x}{4}\right] , dx.
]
4.1. İçteki Farkı Birleştirelim
[
\left(x + 7\right) - \frac{5 - x}{4}
= \frac{4(x+7) - (5 - x)}{4}
= \frac{4x + 28 - 5 + x}{4}
= \frac{5x + 23}{4}.
]
4.2. İntegrali Hesaplayalım
[
A = \int_{-7}^{5} \frac{5x + 23}{4} , dx
= \frac{1}{4}\int_{-7}^{5} \bigl(5x + 23\bigr), dx.
]
Şimdi integrali adım adım çözelim:
[
\int \bigl(5x + 23\bigr), dx = \frac{5}{2} x^2 + 23x.
]
Dolayısıyla,
[
A = \frac{1}{4}\left[\frac{5}{2} x^2 + 23x \right]_{x=-7}^{x=5}.
]
4.3. Sınır Değerlerini Yerleştirme
-
(x = 5) için:
[
\frac{5}{2} (5)^2 + 23 \cdot (5)
= \frac{5}{2} \cdot 25 + 115
= \frac{125}{2} + 115
= 62.5 + 115
= 177.5.
] -
(x = -7) için:
[
\frac{5}{2} (-7)^2 + 23 \cdot (-7)
= \frac{5}{2} \cdot 49 + (-161)
= \frac{245}{2} - 161
= 122.5 - 161
= -38.5.
]
Bu iki değerin farkı:
[
177.5 - (-38.5) = 177.5 + 38.5 = 216.
]
En son (\frac{1}{4}) ile çarptığımızda:
[
A = \frac{1}{4} \times 216 = 54.
]
Yani taralı bölgenin alanı = 54 birim kare bulunur.
Önemli Noktalar ve Özet Tablosu
Aşağıdaki tablo, noktaları ve ilgili denklemleri özetle göstermektedir:
| Nokta/İşlem | Denklem veya Değer | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Doğru ((d_1)) | (y = x + 7) | Eğim: 1, Kesişim (0, 7) |
| 2. Doğru ((d_2)) | (8y + 2x - 10 = 0 \Rightarrow y=\tfrac{5-x}{4}) | Eğim: -1/4, Kesişim (0, 5/4) |
| (d_1) & (x)-ekseni kesişimi | (0 = x+7 ) | ((-7,0)) |
| (d_2) & (x)-ekseni kesişimi | (0 = \frac{5-x}{4}) | ((5,0)) |
| (d_1) & (d_2) kesişimi | (x + 7 = \frac{5 - x}{4}) | (\bigl(-\tfrac{23}{5}, \tfrac{12}{5}\bigr)) |
| Alan hesabı | ( \int_{-7}^{5} \bigl(f(x)-g(x)\bigr),dx) | (54) birim² |
Sonuç
Taralı bölgenin alanı 54 birim²’dir.
Bu adımları dikkatlice uygulayarak, iki doğru arasında kalan bu tip alan problemlerini rahatlıkla çözebilirsiniz. Önemli olan hangi doğrunun üstte, hangi doğrunun altta olduğunu belirlemek ve doğru sınırlar arasında integrali uygulamaktır.