y = \frac{x^2}{4} - \frac{5x}{3} + c parabolünün A(6, 4) noktasındaki teğetinin x ve y eksenlerini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
Parabolün Teğet Denklemi ve Eksenleri Kestiği Noktalar Arasındaki Uzaklık
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir eğriye üzerindeki A(x_0, y_0) noktasından çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir (m = f'(x_0)). Eğimi m olan ve A(x_0, y_0) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y - y_0 = m(x - x_0) bağıntısıyla elde edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Teğetin Eğimini Bulma
Verilen f(x) = \frac{x^2}{4} - \frac{5x}{3} + c fonksiyonunun türevi alınır ve teğet noktası olan A(6, 4) noktasının apsisi (x = 6) yerine yazılır:
f'(x) = \frac{2x}{4} - \frac{5}{3} = \frac{x}{2} - \frac{5}{3}
m = f'(6) = \frac{6}{2} - \frac{5}{3} = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}
Adım 2 — Teğet Doğrusunun Denklemini Yazma
Eğimi m = \frac{4}{3} olan ve A(6, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi kurulur:
y - 4 = \frac{4}{3}(x - 6) \implies y = \frac{4}{3}x - 4
Adım 3 — Eksenleri Kestiği Noktaları ve Aralarındaki Uzaklığı Hesaplama
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için x = 0 ve y = 0 değerleri verilir:
- x = 0 için y = -4 \implies (0, -4)
- y = 0 için 0 = \frac{4}{3}x - 4 \implies x = 3 \implies (3, 0)
Bu iki nokta arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısı (3\text{-}4\text{-}5 özel dik üçgeni) ile hesaplanır:
d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\text{ birim}
CEVAP: A) 5 (d = 5\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Teğet noktası A(6, 4) soruda doğrudan verildiği için parabol denklemindeki sabit terimi (c) bulmaya gerek kalmadan doğrudan türev yardımıyla sonuca ulaşılabilir. Eksenleri 3 ve -4 noktalarında kesen bir doğrunun eksenler arasındaki parçası doğrudan 3\text{-}4\text{-}5 üçgeninden 5 birim bulunur.