y = x^2 - (2n + 5)x + 7n - 3 parabolü A(2, -12) noktasından geçtiğine göre, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
Parabolün Kökler Toplamını Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir nokta parabol üzerindeyse koordinatları parabol denklemini sağlar: (x, y) \in f(x) \implies y = f(x)
- ax^2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminde kökler (ekseni kestiği noktaların apsisleri) toplamı:
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Noktayı Denklemde Yerine Yazarak n Değerini Bulma
A(2, -12) noktası parabol üzerinde olduğundan x = 2 için y = -12 eşitliği sağlanmalıdır:
-12 = 2^2 - (2n + 5)\cdot 2 + 7n - 3
-12 = 4 - 4n - 10 + 7n - 3
-12 = 3n - 9
3n = -12 + 9
3n = -3 \implies n = -1
Adım 2 — x Eksenini Kestiği Noktaların Apsisleri Toplamını Hesaplama
Parabolün x eksenini kestiği noktalarda y = 0 olur:
x^2 - (2n + 5)x + 7n - 3 = 0
Bu denklemin kökler toplamı formülünden:
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(2n + 5)}{1} = 2n + 5
Bulduğumuz n = -1 değerini yerine yazalım:
x_1 + x_2 = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kökler Toplamı (-\frac{b}{a}): Parabolün x eksenini kestiği noktaları tek tek bulmadan, denklem katsayıları yardımıyla apsisler toplamına doğrudan ulaşmamızı sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Parabolün denklemini bulduktan sonra çarpanlara ayırmaya çalışarak vakit kaybetmek ya da köklerin reel olup olmadığını kontrol ederken işlem hatası yapmak.- Doğru Yaklaşım: Soru apsisler toplamını istediğinde doğrudan Vieta bağıntısını (-\frac{b}{a}) kullanmak en hızlı ve güvenli yoldur.
Bu parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak üzerine de bir alıştırma yapmak ister misin?