Y = x³ - 1 u = √x - 1 olduğuna göre, ≤ft. | 1794134115549

Question Answer
1

y = x^3 - 1
u = \sqrt{x} - 1
olduğuna göre, \left. \frac{dy}{du} \right|_{u=1} değeri kaçtır?
A) 192
B) 180
C) 164
D) 140
E) 136

y = x³ - 1 u = √x - 1 olduğuna göre, ≤ft.
y = x³ - 1 u = √x - 1 olduğuna göre, ≤ft.1024×768 124 KB

2

Zincir Kuralı ve Parametrik Türev Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: y ve u değişkenleri ortak bir x parametresine bağlı olduğunda, türevin zincir kuralı gereğince \frac{dy}{du} = \frac{dy/dx}{du/dx} formülü uygulanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — İstenen u Değerine Karşılık Gelen x Değerini Bulma
Soruda u = 1 noktası verilmiştir. Denklemde yerine yazarak x değerini belirleyelim:

u = \sqrt{x} - 1 \implies 1 = \sqrt{x} - 1 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4

Adım 2 — Fonksiyonların x’e Göre Türevlerini Alma
Verilen y ve u ifadelerinin x değişkenine göre türevlerini hesaplayalım:

\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 1) = 3x^2
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x} - 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Adım 3 — Zincir Kuralını Uygulama ve Değeri Hesaplama
Türev oranını oluşturup x = 4 değerini yerine koyalım:

\frac{dy}{du} = \frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{du}{dx}} = \frac{3x^2}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = 6x^2\sqrt{x}

x = 4 için:

\left. \frac{dy}{du} \right|_{u=1} = 6 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 16 \cdot 2 = 192

:white_check_mark: CEVAP: A) 192 \left(\left. \frac{dy}{du} \right|_{u=1} = 192\right)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: En sık yapılan hata, türev formülünde x yerine doğrudan u = 1 değerini yazmaktır. Türev x cinsinden bulunduktan sonra mutlaka u = 1 koşulunu sağlayan x değeri (x = 4) yerine konmalıdır.