y = \sqrt{3x + 7} ise \frac{d^2 y}{dx^2} = ?
Yanıt:
İlk türevi ve ikinci türevi hesaplayarak sorunun cevabını bulmamız gerekir.
-
Birinci Türev ( \frac{dy}{dx} ):
-
y = (3x + 7)^{1/2}
-
Türev alma işlemiyle başlıyoruz:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(3x + 7)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2}(3x + 7)^{-1/2}
-
-
İkinci Türev ( \frac{d^2 y}{dx^2} ):
-
Birinci türevden devam ederek ikinci türevi bulalım:
\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2}(3x + 7)^{-1/2} \right) -
Zincir kuralını kullanarak:
\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{-1}{2} \right) (3x + 7)^{-3/2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{-1}{2} \cdot 3 (3x + 7)^{-3/2} -
Hesaplamaları yapalım:
\frac{d^2 y}{dx^2} = - \frac{3 \cdot 3}{4} (3x + 7)^{-3/2} = - \frac{9}{4} (3x + 7)^{-3/2}
-
Şıklara bakarak doğru cevabı seçelim.
- (I) - \frac{25}{4(5x+2)^{3/2}}
- (II) \frac{3}{2\sqrt{3x+7}}
- (III) - \frac{9}{4(3x+7)^{3/2}}
- (IV) \frac{5}{2\sqrt{5x+2}}
- (V) - \frac{1}{4(3x+7)^{3/2}}
Sonuç olarak doğru cevap:
\boxed{III} - \frac{9}{4(3x + 7)^{3/2}}