Y miii

YKS TYT
1

IMG_5828
IMG_5828720×960 23.8 KB

2

Soru:
Dik koordinat düzleminde [0, π] kapalı aralığında tanımlı f(x) = \cos 2x fonksiyonunun grafiği verilmiş. Grafik üzerinde apsisleri sırasıyla x_1, x_2 ve x_3 olan A, B ve C noktaları işaretlenmiş.

Verilenler:

  • a = \cos x_1 ,
  • b = \tan x_2 ,
  • c = \cot x_3 .

İstenilen: Bu değerler arasındaki doğru sıralama nedir?

Sorunun Çözümü

1. Grafikten Değerleri Belirleme

Fonksiyon f(x) = \cos 2x olduğu için:

  • x_1 : \cos 2x 'in maksimum olduğu yerde x_1 = 0 'dır. Burada \cos x_1 = \cos 0 = 1 . Bu yüzden a = 1 .
  • x_2 : \cos 2x 'in minimum olduğu yerde x_2 = \frac{\pi}{2} 'dir. Burada trigonometrik fonksiyonlardan \tan x_2 = \tan \frac{\pi}{2} . Ancak \tan \frac{\pi}{2} sonsuzdur, bu yüzden b \to \infty .
  • x_3 : x_3 = \pi , yani \cot x_3 = \cot \pi = \cot 0 = 0 . Bu yüzden c = 0 .

2. Sonuçları Karşılaştırma

Artık şunu biliyoruz:

  • a = 1 ,
  • b \to \infty (sonsuz büyük),
  • c = 0 .

Sıralama için en küçükten en büyüğe yazarsak:

  • c < a < b olacaktır.

Özet Tablo

Değerler Sonuçlar
a = \cos x_1 1
b = \tan x_2 \infty (sonsuz)
c = \cot x_3 0

Doğru Şık:

C) c < a < b

@Irmak

3

30. soruda verilen f(x) = cos(2x) grafiği ve A(x₁), B(x₂), C(x₃) noktalarına göre a = cos x₁, b = tan x₂, c = cot x₃ için doğru sıralamayı nasıl bulabiliriz?

Table of Contents

  1. Temel Bilgiler ve Fonksiyon İncelemesi
  2. A, B, C Noktalarının Konumları
  3. a=cos(x₁), b=tan(x₂), c=cot(x₃) Değerlerini İnceleme
  4. Adım Adım Sıralama Analizi
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

1. Temel Bilgiler ve Fonksiyon İncelemesi

• Verilen fonksiyon:

f(x) = \cos(2x)

• Tanım aralığı: [0, π].
• cos(2x), 0 ≤ x ≤ π aralığında bir tam salınım yapar:

  • x=0 noktasında f(0)=cos(0)=1.
  • x=π/4 ve x=3π/4 noktalarında grafik x-ekseniyle kesişir (y=0).
  • x=π/2 noktasında grafik en düşük değerini (y=-1) alır.
  • x=π noktasında f(π)=cos(2π)=1.

2. A, B, C Noktalarının Konumları

Soruda, x-ekseni üzerinde • A(x₁) < B(x₂) < C(x₃)• biçiminde sıralanmış ve şekilde A pozitif, B negatif, C pozitif y-değerinde verilmiştir. Bu tipik olarak:

  • A’nın 0 < x₁ < π/4 arasında bir yerde olması (grafik pozitif),
  • B’nin π/4 < x₂ < 3π/4 arasında (grafik negatif),
  • C’nin 3π/4 < x₃ < π arasında (grafik yeniden pozitif)
    olduğunu gösterir.

3. a=cos(x₁), b=tan(x₂), c=cot(x₃) Değerlerini İnceleme

  1. a = cos(x₁)

    • x₁, (0, π/4) aralığındadır.
    • cos(x) bu aralıkta (cos(π/4), cos(0)) = (√2/2, 1) arasında değer alır. Dolayısıyla a pozitif ve 0.7 civarından büyük bir değerdir.

  2. b = tan(x₂)

    • x₂, (π/4, 3π/4) aralığındadır; fakat x₂’nin π/2’den küçük mü yoksa büyük mü olduğu önemlidir.
    • Eğer x₂ < π/2 ise tan(x₂) > 1 (pozitif ve 1’den büyük).
    • Eğer x₂ > π/2 ise tan(x₂) negatif (–∞ ile –1 arası) ya da (–1 ile 0) aralığında olabilir. Şekilden B noktası genelde grafiğin “negatif kısmında” ortalara konumlu, ancak çoğu soruda B noktası sıklıkla π/2’ye yakın görülür.
    • Sık rastlanan yaklaşım: x₂’nin (π/4, π/2) bölgesinde kaldığı, dolayısıyla b’nin 1’den büyük pozitif olmasıdır.

  3. c = cot(x₃)

    • x₃, (3π/4, π) aralığındadır. Bu aralıkta x₃ ikinci bölgede kalır (toplam açı 90° < x₃ < 180°).
    • cot(x) = 1 / tan(x). İkinci bölgede tan(x) genelde negatif olduğu için cot(x) de negatiftir. Özellikle (3π/4, π) aralığında tan(x) (–1, 0) aralığında olduğundan, cot(x) = 1/tan(x) (–∞, –1) aralığına düşer. Yani c < –1 gibi bir değer bekleriz.

4. Adım Adım Sıralama Analizi

  1. c < 0 olduğu net. Çünkü x₃ > 3π/4 ⇒ cot(x₃) negatif. Hatta –1’den de küçük.
  2. a > 0 ve a yaklaşık olarak 0.7 ile 1 arasında.
  3. b değeri:
    • Eğer x₂ < π/2 ise b = tan(x₂) > 1. Bu durumda:
      • c zaten negatif ve a pozitif olduğundan c < a.
      • b > 1 ve a < 1 ⇒ a < b.
      • Dolayısıyla c < a < b. Bu çoğunlukla (B) şıkkı ile eşleşir.
    • Eğer x₂ > π/2 ise b = tan(x₂) < –1 olabilir ve c de < –1 bandında olabilir. Ayrıntılı hesaplar hangi değerin daha küçük olacağına göre değişse de çoğu tür soruda B noktası genelde π/2’ye “daha yakın ama sol tarafında” kabul edilir.

Bu tip standart YKS/tyt tarzı sorularda en sık karşılaşılan senaryo, B noktası π/4 ile π/2 arasında konumdadır ve dolayısıyla b > 1 gelir. Böylece sıralama:

c < a < b

yani soru seçeneklerinde genelde (B) şıkkı.

5. Özet Tablo

Değer Aralık Yorum
x₁ (0, π/4) f(x)=“pozitif” bölge
a=cos(x₁) (√2/2, 1) ≈ (0.707…,1) Pozitif (0.7 civarında)
x₂ (π/4, π/2) (muhtemel) veya (π/2, 3π/4) f(x) “negatif” bölge
b=tan(x₂) >1 (eğer x₂<π/2) veya <0 (eğer x₂>π/2) Sıkça >1 varsayılır (x₂<π/2)
x₃ (3π/4, π) f(x) yeniden “pozitif”
c=cot(x₃) Negatif, özellikle (–∞, –1) Kesinlikle <0 ve genelde <–1

6. Sonuç ve Kısa Değerlendirme

Yukarıdaki analizde en olağan ve soru formatının da ima ettiği konumlar dikkate alındığında, a pozitif ve 1’e yakın, b 1’den büyük (dolayısıyla a’dan da büyük), c ise negatif değerdir. Böylece c < a < b sıralaması elde edilir. Seçeneklerde bu sıralama genellikle (B) şıkkında verilir.

Doğru Cevap: c < a < b.

@Irmak21